¿Producto de los dos conjuntos con densidad cero tiene densidad cero?

Question

Que $A$ $B$ ser dos subconjuntos de $\mathbb N$ que tienen densidad asintótica cero. Definir $A\times B$ como el conjunto de enteros de la forma $ab$ $a\in A$ y $b\in B$. ¿$A \times B$ También debe tener densidad asintótica cero?

Conjetura que debe, pero no estoy seguro.

Answer 1

Separar el conjunto de los números primos $P$ en dos conjuntos de $A_p,B_p$ considerando los productos parciales de $(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)\cdots$ con cada factor de la forma $1-1/p$ donde los números primos $p$ a través de la secuencia de $2,3,5,\cdots$ de los números primos. Nos alternativamente ir por parciales de cada uno de los productos en la mayoría de las $1/2,$, de modo que $A_p$ comienza con $2$ [desde $1-1/2\le 1/2$] y, a continuación, $B_p$ continúa con $3,5,7$ desde $(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)=16/35=0.45...$ pero utilizando sólo $3,5$ no es suficiente para la primera $B_p$ grupo [$(1-1/3)(1-1/5)=8/15=0.53...$ no es en la mayoría de las $1/2$]

Estamos seguros de que nunca llegaremos a un punto donde no podemos hacer la próxima $A_p$ o $B_p$ grupo de números primos tienen su producto parcial de $1-1/p$ términos en la mayoría de los $1/2,$, ya que el producto de esta expresión sobre todos los números primos $p$ diverge a $0$. Si mi cálculo es correcto, entonces el siguiente grupo de números primos en la lista de $A_p$ comienza con $11$ y termina con $83$

Ahora vamos a definir los subconjuntos $A$$B$$\mathbb{N}$, de modo que $A$ se compone de todos los enteros positivos que se pueden formar utilizando sólo los factores primos (todas las facultades) de $A_p$, y de manera similar a $B$ es de los enteros moldeables utilizando sólo potencias de números primos de $B_p$

Entonces es claro al menos que $AB$ es de $\mathbb{N},$, mientras que argumentos similares a los que se muestran natural de la densidad de los números primos es cero utilizando el producto completo de los factores $1-1/p$ me parecen mostrar que cada una de las $A,B$ han densidad cero. (Tengo la intención de volver a esta última edición con más detalles, pero pensé en dejar este, ciertamente, respuesta parcial arriba por ahora, tal vez alguien podría ayudar a terminar, o mostrar el $A,B$ positiva densidades después de todo, luego me gustaría eliminar.)

Aquí, en cualquier caso, es una heurística intento de mostrar, por ejemplo, que los naturales de la densidad de $A$ es cero. Un entero positivo es en $A$ fib ninguno de sus primos divisores de mentira en el conjunto $B_p$ de los números primos. Estos últimos fueron elegidos de tal manera que el producto de los términos de $(1-1/p)$ $p \in B_p$ es cero, ya que tenemos productos parciales delimitada por $1/2,$ a continuación, más por $(1/2)^2,$ etc. Y en una probabilidad sentido, $(1-1/p)$ es la probabilidad de que un "azar" entero no divisible por $p.$, por Lo que si creemos que la probabilidad de los argumentos, podemos decir que la probabilidad de un número entero positivo de no ser divisible por un primo en el conjunto $B_p$ es cero, es decir, la probabilidad de que un entero positivo a mentir en conjunto $A$ también es cero.