Raíz de $f(z)$ dentro de $|z|<1$

Question

Dejemos que $c\in\mathbb{R}$ . Una función no constante $f(z)$ es holomorfo en $|z|<2$ . Supongamos que $|f(z)|=c$ para todos $|z|=1$ . Demostrar que $f(z)$ debe tener una raíz en $|z|<1$ .

Estoy pensando en el principio de máxima, que dice $f(z)$ no puede alcanzar un máximo dentro de $|z|<1$ . Pero eso sigue sin dar una raíz. Además, el teorema de Rouche podría ser aplicable si hay otra función $g(z)$ a utilizar.

Answer 1

$f$ no es constante. Así que debe tener $\lvert f(z)\rvert < c$ para todos $z$ en el disco de la unidad. Si $f$ no tuviera ningún cero en el disco unitario, ¿qué tendría que decir el principio de máxima $$g(z) = \frac{1}{f(z)}\; ?$$