¿Cuántas tripletas de enteros positivos$(a,b,c)$ satisface$a\le b\le c$ y$abc=1,000,000,000?$

Question

¿Cuántas tripletas de enteros positivos$(a,b,c)$ satisface$a\le b\le c$ y$$abc=1,000,000,000?$ $

Encuentro preguntas combinatorias como esta bastante difíciles.

Expresé$1,000,000,000$ como$2^95^9$.

Dejé$a=2^p5^s$,$b=2^q5^t$ y$c=2^r5^u$. Así que necesito encontrar la cantidad de soluciones enteras no negativas para$p+q+r=9$ y$s+t+u=9$, que es$\binom{11}{2}=55$.

Ahora estoy estancado. Solo diría$55\times55$ pero no son * pares ordenados.

Answer 1

Usted necesita encontrar el número de casos con $a \lt b \lt c$, $a=b\lt c$, $a \lt b =c$ y $a=b=c$, a pesar de que usted puede unirse a la segunda y la tercera en un conjunto llamado "dos iguales", y que podemos llamar la primera "nada es igual" y el último "tres de la igualdad".

"Tres de la igualdad" es fácil: se buscan soluciones a $3p=9$ $3s=9$ y no sólo es $1 \times 1 = 1$ "tres de la igualdad" de la solución.

"Dos iguales" requiere que el número de soluciones a$2p+r=9$$2s+u=9$. Esto es $5 \times 5 = 25$. Estos aparecen una vez, ya sea como $(2^p5^s,2^p5^s,2^r5^u)$ o $(2^r5^u,2^p5^s,2^p5^s)$, por lo que no tenemos necesidad de ajustar para la duplicación. Pero $1$ es el "tres de la igualdad" de la solución, dejando $25-1=24$ "dos iguales" soluciones.

"Nada iguales" es un poco más difícil. Usted tiene el $55\times 55$. Pero deberá restar tres veces el $24$ "dos iguales" soluciones [por ejemplo, si usted tiene una solución $(a,a,c)$, a continuación, aparecerá también como $(a,c,a)$$(c,a,a)$] y una veces el "tres de la igualdad" de la solución. Incluso después de cinco sextas partes de estos "ninguno igual" las soluciones están en el orden equivocado. Así que usted desee $\frac{55\times 55-3\times 24 -1 \times 1}{6}=492$ "nada es igual" de soluciones.

Y su respuesta es $1+24+492=517$ ordenado soluciones como lnwvr ha encontrado.