¿Tiene un espacio con propiedad A un nombre topológico?

Question

Como sabemos,

Si $X$ es un Tychonoff pseudocompact espacio, a continuación, para cada disminución de la secuencia $\cdots\subset W_2\subset W_1$ de vacío abrir los subconjuntos de a $X$ la intersección $\bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{W_i}$ es no vacío.

En este resultado, la secuencia de $\{W_i\}$ es contable. Si cambiamos la cardinalidad de la secuencia ser $\omega_1$, es decir,

Propiedad: Para cada disminución de la secuencia $\cdots\subset W_\alpha\subset \cdots\subset W_2\subset W_1$ de vacío abrir los subconjuntos de a $X$ la intersección $\bigcap_{\alpha=1}^{\omega_1} \overline{W_i}$ es no vacío.

Hace un espacio con peoperty Una topológico nombre?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Parece que el siguiente.

Un espacio de $X$ es casi $\omega_1$-Lindelöf [Par][Mat, p. 92], si toda cubierta abierta de cardinalidad en la mayoría de las $\omega_1$ tiene una contables de la subfamilia de cuya unión es denso en $X$. Es fácil comprobar que un espacio de $X$ tiene la Propiedad de Un iff $X$ casi $\omega_1$-Lindelöf. Consulte los diagramas en [Mat, p.92] y en [DRRT, p.94] acerca de las relaciones de Propiedad de un espacio con otras propiedades similares. Parece que la Propiedad (*) implica la Propiedad, incluso sin $T_3$ asunción. La propiedad implica débilmente Lindelöfness (de Hecho, se asume que el espacio de $X$ no está débilmente Lindelöf. Entonces tiene un localmente finito de la familia $\{Y_\alpha: \alpha<\omega_1\}$ de vacío abierto conjuntos. Para cada una de las $\alpha<\omega_1$ puesto $W_\alpha=\bigcup_{\beta\ge\alpha} Y_\beta$. A continuación, $\{W_\alpha\}$ es una disminución de la secuencia de vacío abierto subconjuntos del espacio $X$ tal que $\bigcap \overline{W_i}=\varnothing$). Débilmente Lindelöfness implica DCCC [Mat, p.87-88]. Ejemplo 22 en [Mat, p.88] es Hausdorff DCCC, pero no débilmente Lindelöf. Pero cada regulares DCCC espacio, que es débil Lindelöf [Mat, p.88]. DCCC implica la Propiedad ($\varepsilon$) incluso sin $T_3$ asunción. También parece que la implicación ("countably compacto" $\to$ "casi $\omega_1$-Lindelöf") en el primer diagrama que está mal, y la cubierta de la $\{[0,\alpha): \alpha<\omega_1\}$ de un ordinal $\omega_1$ dotado con el fin de topología es un contraejemplo (como Matveev escribió también al principio de la página 93). Así que la Propiedad es incomparable con pseudocompactness, porque también cada Lindelöf espacio tiene la Propiedad A. Un espacio de $X$ es linealmente Lindelöf si toda cubierta abierta de a $X$, linealmente ordenado por el subconjunto relación, tiene una contables subcover. Evidentemente, cada uno linealmente Lindelöf espacio tiene la Propiedad también.

Referencias

[BR, Secc. 1.2] Taras Banakh, Alex Ravsky. Verbal cubriendo las propiedades de los espacios topológicos // arXiv: 1503.04480 [matemáticas.GN], la Topología Appl. (Actas de la Conferencia de Lepanto) (a ser publicado).

[DRRT, Secc. 3.1] E. K. van Douwen, G. M. Reed, A. W. Roscoe, I. J. Árbol, Estrella, cubriendo propiedades. Topología De Appl., 39:1 (1991), 71-103.

[Mat, Ch. 5] M. Matveev, Una Encuesta sobre las Estrellas que Cubren Propiedades.

( El propoerty (a) se considera en Matveev del papel difiere de la tuya peoperty A. :-) )

[Par] C. M. Pareek, En algunas generalizaciones de countably compacto y Lindelöf espacios, Suppl. Rend. Circ. Mat. di Palermo, Ser II, 24 (1990) 169-192.