Inducción fuerte $n=2^a\cdot b$

Question

Dadas $n\in\mathbb N$, existe un entero no negativo $a$ y un número entero impar $b$ tal que $n=2^a\cdot b$

Caso base: $n=1 =2^0\cdot1$

I.H: Asumir su verdadero $n=1,2,\ldots,k$

¿Cómo sería probar esto?

Answer 1

Es una muy directa de la inducción.

Caso Base : $n=1$ es impar.

$n = 2 = 2^1 \times 1$, si desea que otro.

Ahora, vamos a $1,...,k$ ser cubiertos en la hipótesis. Ver el $k+1$.

Cualquiera de las $k+1$ es par o impar. Si es impar, entonces $k+1 = 2^0 (k+1)$ donde $k+1$ es un número impar (por supuesto). Por lo tanto, estamos de hecho en este caso.

Si $k+1$ es incluso, a continuación, $\frac{k+1}{2} < k+1$ es un número entero que ha sido cubierto en la hipótesis inductiva, decir $\frac{k+1}2 = 2^ab$ donde $b$ es impar. La transposición, $k+1 = 2^{a+1}b$ donde $b$ sigue siendo extraño. Por lo tanto, $k+1$ puede ser escrita en la forma deseada.

Esto completa la inducción.

Answer 2

En primer lugar tenga en cuenta que este statament es razonable: en esta forma se podría escribir cada número, par o impar. Cuando odd $n$$a$ debe ser $0$. Cuando $n$ es incluso $a \ge1$.

Por lo tanto, más formalmente: tomar un % arbitrario $n \in \mathbb{N}$.

• Si $n$ es curioso podemos decir que $n=2^0n$
• Si $n$ se considerara la facturización primera de $n$, $n=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}...*p_n^{\alpha_n}$ tenga en cuenta que $ 2^{p_1}|n \space$ y $\space 2^{p_1+1} \not| n$ $\implies \exists b\in \mathbb{N}: n=2^{p_1}b$.

Answer 3

En sus comentarios se le preguntó acerca de cómo podemos descubrir la prueba de que he insinuado. La idea es simplemente que el conjunto $S$ de productos naturales de escritura en forma de $\,2^a b,\,$ satisface la siguiente (en este caso $\,0\ne \Bbb N)$

Teorema $\ $ Si $\,S\subseteq \Bbb N\,$ contiene todos los $\color{#c00}{\rm odds}$ y es cerrado bajo $\rm\color{#0a0}{multiplication\ by\ 2}\,$ $\,S = \Bbb N$

Prueba de $ $ Suponer para el fuerte de inducción que $S$ contiene todos los naturales de $< n.\,$ Si $\,n\,$ es impar, a continuación,$\,n\in S\,$$\rm\color{#c00}{hypothesis}$. Otra cosa $n = 2k\,$ $k< n$ $\,k\in S\,$ por inducción, por lo $n = 2k\in S\,$$\rm\color{#0a0}{hypothesis}$.

Comentario $ $ Más en general, en sustitución de $\,2\,$ naturales $\,c > 1\,\,$ la misma prueba demuestra que cualquier natural puede escribirse de forma única en forma de $\,c^a b,\ c\nmid b\,$ y por encima de la inducción cantidades de tirar la mayor cantidad de factores de $c$ como sea posible, es decir, hasta el resto de cofactor $b$ ya no es divisible por $c$.