Pregunta sobre un submanifold de $\mathbb{C}^2$ y los vectores tangentes

Question

Dejemos que $X\subset \mathbb{C}^2$ (con coordenadas complejas $z,w$ ) se defina mediante la ecuación $|z|^2=|w|^2$ .

Si vemos $\mathbb{C}^2$ como $\mathbb{R}^4$ con coordenadas reales $z=x+iy$ , $w=u+iv$ entonces $X$ es un submanifold real de dimensión 3 definido por $x^2+y^2-u^2-v^2=0$ .

Pregunta 1: ¿es $X$ ¿también es un submanifold complejo?

Pregunta 2: ¿es $(i,0)$ un vector tangente a $X$ en $(1,1)\in X$ ?

Creo que la respuesta es no a ambas preguntas. En particular para la segunda debería ser cierto que $T_{(1,1)}X\simeq Ker(df_{(1,1)})$ con $f= x^2+y^2-u^2-v^2=0$ y $df_{(1,1)}=(2,2,-2,-2)$ . Pero $(i,0)=(0,1,0,0)$ en coordenadas reales y $df_{(1,1)}(0,1,0,0)\neq 0$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Pregunta 1
Desde $X\subset \mathbb R^4$ es una hipersuperficie real que tiene dimensión real $3$ y, por tanto, no puede ser una variedad compleja, ni siquiera un espacio complejo, ya que los espacios complejos tienen dimensión real.
(Tenga en cuenta que, si $O\in \mathbb C^2$ denota el origen, $X\setminus \{O\}$ es, en efecto, un colector real, pero $X$ no es una variedad real porque tiene una singularidad en $O$ )

Pregunta 2
Tenemos para $P=(a,b)=(p+iq,r+is)\neq O\in X\subset \mathbb C^2$ la relación $T_PX=\ker d_Pf$ , donde $$d_Pf:\mathbb C^2\to \mathbb R:(z=x+iy,w=u+iv)\mapsto 2(px+qy-ru-sv)$$ o en notación vectorial $$ d_Pf=(2p,2q,-2r,-2s)$$ Si ahora $a=1,b=1$ obtenemos $$d_Pf(z,w)=2(x-u) \quad [\operatorname {or in vector notation } d_Pf=(2,0-2,0)]$$ para que $T_Pf$ es el hiperplano real $$T_Pf=\{(z,w)\in \mathbb C^2\vert x=u\}$$ Así que, sí, $(i,0)=(0+i,0+0i)\in T_Pf$ ya que para ese vector $(i,0)$ uno tiene $x=u=0$

Observación complementaria
Se puede observar que la única línea compleja $L$ incluido en el $3$ -espacio vectorial real de dimensiones $T_{(1,1)}X\subset \mathbb C^2$ es $$L=\{(0,w)\in \mathbb C^2\vert w\in \mathbb C\}$$