Algunos resultados interesantes de decimales de PI

Question

Estaba leyendo algunas notas sobre la PI y como un típico chico de TI me he decidido a probar algunos algoritmo, pero antes quería comprobar el número de cantidad por decimal longitud (explicación en el siguiente párrafo). Para los recursos que he utilizado: http://www.piday.org/million.php de ahí tomé 1000000 decimal y escribió una pequeña aplicación para ver cómo muchas veces 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 0 se utilizan números. Y puedo obtener algunos resultados interesantes y quería compartir con ustedes.

es decir, en primer 100000 decimal total 9999 0(cero). En general número total * 100000 muy cerca decimal longitud/10;

o

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total de 1000000 decimal: 4499934

total de 100000 decimal: 449333

total de 10000 decimal: 44894

total de 1000 decimal: 4476

total de 100 decimal: 477

total de 10 en decimal: 41

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¿Crees que puede ser interesante? Si alguien quiere que se pueden compartir los resultados completos. (Puede ser información inútil, pero yo estaba haciendo sólo para la diversión, así que no me juzguen:))

Answer 1

(Me gustaría publicar esto como un comentario, pero acabó el espacio.)

Sus resultados no son sorprendentes. En parte porque no es (conocida) razón por la que cualquier dígito debe ocurrir a más tardar otros dígitos, muchos matemáticos creen que todos los dígitos $0$ $9$ocurren con igual frecuencia. En términos técnicos, se cree que $\pi$ es un número normal.

Así, entre los primeros a $N$ dígitos, usted debe esperar a ver el dígito $0$ $N/10$ a veces, el dígito $1$ $N/10$ a veces, y así sucesivamente: cada uno de los diez dígitos acerca de $N/10$ veces. Esta aproximación se obtiene (relativamente) mejor como $N$ se hace más grande. De modo que la suma de los primeros a $N$ dígitos aproximadamente se $$\begin{align} &\frac{N}{10}(0) + \frac{N}{10}(1) + \frac{N}{10}(2) + \dots + \frac{N}{10}(9) \\ =& \frac{N}{10} \left( 0 + 1 + \dots + 9 \right) \\ =& \frac{N}{10} (45) \end{align}$$ que es lo que estamos viendo.

Answer 2

El tema ha sido muy estudiado. Para cualquier base $b$, hay una fuerte noción llamado "$b$-número normal" y aún más la noción llamado "número normal." Para algunos detalles, por favor consulte este artículo de la Wikipedia. En términos generales, a un número de es $10$-normal si para cualquier entero $k$, cada secuencia de $k$ cifras se produce en el largo plazo con la misma frecuencia. Por lo tanto se tendría la igualdad no sólo para un solo dígito. Cada par de dedos adyacentes ocurriría con el largo plazo frecuencia $1/100$, y así sucesivamente.

En la medida en la teoría de sentido, que "casi todos" número real es de $b$-normal para cada base $b$. Sin embargo, a pesar de lo normal números están en todas partes, es muy difícil producir ejemplos explícitos, y aún más difícil comprobar que un número especificado de forma explícita es normal.

Ha sido largo conjeturó que $\pi$ $b$- normal para cada base, y, en particular, es $10$-normal. Sin embargo, no hay hasta ahora ninguna prueba, y no se conocen las técnicas que podría conducir a una prueba. Los cálculos mucho más allá de los que se han llevado a cabo, son consistentes con la hipótesis de que $\pi$ $10$- normal. La conjetura ha sido una de las motivaciones detrás de los cálculos de $\pi$ a un enorme número de dígitos.