El modelo es Gaussiano a primer orden y la función de correlación del espacio de momento es proporcional a formula_27.

Question

En su libro "Tres Dimensiones de la Geometría y Topología", Thurston construye una métrica de Riemann para el disco de Poincaré modelo y comienza de la siguiente manera. Él dice que, dado cualquier (hiperbólica) segmento de la línea de $s$ en el disco, se puede optar por una línea hiperbólica $L$ así como un Euclidiana círculo de $C$ tal que $s$ $L$ $s$ $C$ satisfacer perpendicularmente. Él, a continuación, utiliza un geométricas argumento para demostrar que la longitud hiperbólica de $s$ sólo depende del ángulo entre el$C$$L$.

Se considera entonces la longitud de la $l$ de un segmento de línea como una función del ángulo de $\alpha$, y concluye que "esta función tiene un número finito de derivados en $\alpha=0$, debido a que la longitud Euclidiana $l_E$ de cualquier particular transversal de segmento es aproximadamente proporcional al $\alpha$ $\alpha$ pequeños, y Euclídea y longitudes hiperbólicas debe ser proporcional a la primera orden".

Supongo que bruto de proporcionalidad significa que $l_E(\alpha)=c\cdot\alpha+O(\alpha^2)$$\alpha\to 0$; una propiedad puedo probar. Pero yo no veo ninguna geométrica de razón de la distancia Euclídea y longitudes hiperbólicas debe ser proporcional a la primera orden. De nuevo, supongo que esto significa que $l(\alpha)=c\cdot l_E(\alpha)+O(\alpha^2)$$\alpha \to 0$.

Answer 1

Para longitudes infinitesimales, hiperbólico y euclidiana métrica es los mismos. (Esto sigue del hecho de que la relación entre el cuadrado de la longitud y curvatura gaussiana se convierte en cero.) Así que quizá el autor significó el siguiente argumento: para longitudes infinitesimales, la métrica hiperbólica y el euclidiano está de acuerdo, y este último es proporcional a la primera orden, por lo que el primero debe ser proporcional a la primera orden, así.

Answer 2

La interpretación anterior de ser proporcional a la primera orden es cuestionable, ya que esta noción no debe depender de Thurston ángulo de la construcción. Parece más plausible a la demanda de dos métricas $g,h$ que existe una constante tal que $\|\exp_g(t\cdot v)'\|_g = c\cdot \|\exp_h(t\cdot v)'\|_h + O(t^2)$. Esta condición se satisface si las métricas son conformemente equivalentes.

Por lo tanto, sigue siendo para dar una explicación geométrica para la conformación de equivalencia. Deje $\rho\colon D^2\to D^2$ denotar la rotación de las $\pi/2$ alrededor del origen. Este es un hiperbólico isometría. Claramente $T\rho\colon TD^2\to TD^2$ tiene la propiedad de que los mapas de un lugar de fuga campo de vectores $X\in\Gamma(TD^2)$ a un linealmente independiente de vectores de campo. Por lo tanto $(X,T\rho(X))$ es un mundial marco ortogonal con respecto a la métrica Euclidiana y con respecto a la métrica hiperbólica Thurston va a construir. Esta muestra de conformación de equivalencia como $\|X\|=\|T\rho\circ X\|$ con respecto a ambas métricas.