Normas absolutas y sumas 1-incondicional

Question

Norma absoluta

Deje $X$ $Y$ ser espacios de Banach. Deje $Z=X\times Y$ norma $\|\cdot\|_N$ $Z$ se llama absoluta si existe una función de $N\colon R^2\rightarrow R$ tal que $$ \|(x,y)\|_N=N((\|x\|, \|s\|)) \qquad \text{ para todo } z=(x,y)\in Z. $$

Por ejemplo, el $\ell_p$-las normas son las normas de carácter absoluto.

1-incondicional suma

Deje $E$ ser un espacio de Banach con una de 1 incondicional normalizado de la base de Schauder. Podemos pensar en los elementos de $E$ como secuencias con la propiedad de que $$ \|(a_1,a_2,\dots)\|_E=\|(|a_1|,|a_2|,...\|_E \qquad \text{ para todo } (a_j)\en E. $$ Tenga en cuenta que $E$ está naturalmente dotado de la estructura de un entramado de Banach con respecto a la pointwise operaciones.

Supongamos que $X_1, X_2,\dots$ son espacios de Banach. Su $E$suma $X=(X_1, X_2, \dots)_E$ se compone de todas las secuencias $(x_j)$ $x_j\in X_j$ $(\|{x_j}\|)\in E$ con la norma $\|(x_j)\|=\|(\|x_j\|)\|_E$.

Pregunta

Deje $Z=X_1\times X_2\times...$. Puedo equipar $Z$ con una norma absoluta? Si, así es esta norma equivalente para equipar a las $Z$ con un 1-incondicional norma?

Gracias de antemano!

Answer 1

Incondicional de sumas puede ser mucho más complicada que la absoluta sumas. En una suma absoluta, si usted tiene lineal de operadores de $T_n$ $X_n$ s.t. $\sup_n \|T_n\| < \infty$ y definen $T$$Y$$Tx = (T_n x(n))$$x=(x(n))$$Y$, $T$ es un delimitada operador lineal en $Y$. Esto no es cierto incondicional de sumas. De hecho, la Kalton-Peck espacio (la finalización de) incondicional de la suma de una secuencia de 2-dimensiones de los espacios (que todo puede ser llevado a ser de dos dimensiones, espacios de Hilbert) y, sin embargo, no tiene forma incondicional!