En la sección I1.3 de Apostol del Cálculo (2ª Ed., Vol. 1, páginas 3 a 7), Apostol detalles de cómo aplicar el método de agotamiento de un segmento parabólico de $x^{2}$. Entiendo que el proceso de aplicación , sin embargo no estoy seguro de cómo proceder a partir de un cierto paso a otro. En particular, es el paso en el cual se introduce la desigualdad necesario proceder a $b^3 \over 3$ como el valor del área del segmento parabólico. He intentado proporcionar tanto el contexto como sea posible por debajo de lo que la referencia a que el libro no es necesario.
Así, en su explicación, se emplea el método de agotamiento en el segmento parabólico de $x^2$ $x=0$ $x=b$exterior rectángulos y el interior de los rectángulos, también conocida y superior e inferior de los rectángulos en otros libros.
El área de la parte inferior de los rectángulos es:
$$ S_{inner}= {b^3 \over n^3}[1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2}] $$
$$ S_{outer}= {b^3 \over n^3}[1^{2}+2^{2}+...+n^{2}] $$
Se dice entonces que el cálculo de la suma de los cuadrados es un inconveniente, y se introduce la identidad:
$$ (I.3) \ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} = {n^3 \over 3}+{n^2 \over 2}+{\frac n6}$$
y se dice que por la suma de los cuadrados de$1$$(n-1)$:
$$ (I.4) \ 1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2} = {n^3 \over 3}-{n^2 \over 2}+{\frac n6}$$
Él dice, "Para nuestros propósitos, no tenemos la exacta expresiones dadas en la mano derecha de los miembros de (I. 3 y I. 4). Todo lo que necesitamos son las dos desigualdades:
$$1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2} < {n^{3} \over 3} < 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$$
Lo que yo no entiendo es de donde obtuvo la idea de usar el ${n^{3} \over 3}$ en la desigualdad, a partir de las expresiones que he proporcionado anteriormente. A mí me parece que él utilizó su conocimiento previo del valor de la zona, para continuar con la prueba, que deja al lector preguntándose de dónde sacó el valor de. Él también podría haber utilizado la siguiente válida la desigualdad:
$$1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2} < {n^{3} \over 3}+ \frac n6 < 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$$
Esto es cierto si usted simplemente quitar el $n^2 \over 2$ plazo en I. 3 y I. 4 anterior. Pero él prefirió el uso de la primera desigualdad. Si hay una razón por la cual, me gustaría saber.
Por último, y este es sin duda pedante por mi parte, me gustaría señalar que creo que su prueba de que el área de un segmento parabólico es mal llamada el método de agotamiento. No es la razón de que el método de Arquímedes para el análisis fue anunciado como adelantada a su tiempo, es porque él utilizó la idea de la limitación de proceso (aunque sea indirectamente)? Cuando encontré por primera vez este método, los valores de la interior y exterior de los rectángulos que he proporcionado anteriormente fueron sometidos a la limitación de proceso que resulta en la zona bajo el segmento parabólico. Que parece más similar a la de el proceso con el que Arquímedes se acercó al problema (que era simplemente añadiendo más y más triángulos para llenar el espacio vacío entre el círculo y el polígono inscrito en el círculo).
