Campo topológico localmente compacto no Hausdorff

Question

¿Existen campos topológicos no-Hausdorff localmente compactos? Si es así, ¿cuál es un ejemplo?

Edición: A la luz del comentario de Daniel Fischer, tengo que añadir la condición de que la topología no sea la trivial $\{X,\emptyset\}$ topología.

Contexto:

X es localmente compacto si cada punto de X tiene una vecindad compacta. (Una vecindad de un punto es un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene al punto).

Un grupo topológico $G$ es Hausdorff si y sólo si el subgrupo que contiene sólo la identidad $\{e\}$ está cerrado. $G/\overline{\{e\}}$ es Hausdorff, por lo que algunos autores simplemente asumen Hausdorff cuando hablan de grupos topológicos.

Comúnmente (wikipedia, libro de Taibelson, etc) un campo local se define como un campo topológico localmente compacto, y se demuestra que todo campo local tiene un valor absoluto (inducido por la propiedad de factor multiplicativo único de la medida de Haar) y por lo tanto es Hausdorff.

Pero las pruebas habituales de la existencia de la medida de Haar requieren que el grupo topológico localmente compacto sea Hausdorff.

Así que me parece que la definición habitual de campo local supone Hausdorff (si no, no estoy seguro de cómo construir la medida de Haar con la propiedad de factor multiplicativo único).

Por eso me pregunto si existen campos topológicos localmente compactos no Hausdorff. He mirado en varios libros y he buscado en Google antes de preguntar.

Relacionado: https://mathoverflow.net/questions/22800/must-a-locally-compact-group-be-hausdorff-in-order-to-possess-a-haar-measure

Daniel Fischer ha señalado que cualquier campo con la topología trivial (indiscreta, los únicos conjuntos abiertos son el espacio entero y el conjunto vacío) es un campo topológico compacto no Hausdorff. También ha señalado que el $T_0$ El axioma debe evitarse para obtener la no-Hausdorff.

Aquí hay un candidato no $T_0$ topología (de wikipedia)para poner en el campo $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ : Los conjuntos abiertos son el producto cartesiano de un conjunto abierto en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es decir, la topología del producto de $\mathbb{R}$ con la topología habitual y $\mathbb{R}$ con la topología trivial; los puntos $(a,b)$ y $(a,c)$ no son distinguibles.

Answer 1

Cualquier campo con la topología indiscreta es un campo topológico localmente compacto no Hausdorff. Sin embargo, éste es el único ejemplo: si $K$ es un campo topológico no Hausdorff, entonces la topología sobre $K$ debe ser indiscreto.

Para demostrarlo, primero hay que tener en cuenta que la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen $0$ es un subgrupo aditivo $K_0$ de $K$ que no es trivial, ya que de lo contrario $K$ sería $T_0$ y por lo tanto Hausdorff. Pero para cualquier $x\in K$ , multiplicación por $x$ es un homeomorfismo $K\to K$ que arregla $0$ Así que $xK_0=K_0$ . Desde $K_0$ contiene un elemento no nulo $y$ contiene $xy$ para todo lo que no sea cero $x$ y cada elemento no nulo de $K$ puede escribirse de esta forma. Así, $K_0$ es en realidad todo $K$ . Es decir, el único conjunto abierto que contiene $0$ es $K$ mismo; se deduce que la topología es indiscreta.