Que $c_0$ ser el espacio de secuencias valor real ${x_n}$ que converge a cero, dotado de la métrica $d (\ {x_n}, {y_n}) = sup_n | x_n − y_n | $. I want to show that the metric space $(c_0, d)$ is complete, in other words every Cauchy sequence converges. I need to show that every Cauchy sequence has a limit, and that that limit actually belongs to $c_0$. Right now I am having trouble with the first part. If we assume that ${a_n}$ in $c_0$ is Cauchy, I know by the definition of the metric $d$ that the real valued sequence along the $k^\text{th}$ term of each term (which itself is a sequence of reals) of ${a_n}$ is also Cauchy. In other words, the sequence ${a_n}$ converges term-wise (puesto que las secuencias de Cauchy en los reales convergen), pero ¿cómo se utiliza que para mostrar toda la secuencia converge?
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Hay una anotación problema aquí. Usted necesita demostrar que una secuencia de Cauchy de elementos de $c_0$ converge a un elemento de $c_0$. Podría ser de ayuda para referirse a un elemento de $c_0$$x$, y, a continuación, la dirección de un elemento específico de la secuencia como $x(k)$.
Así que supongamos que usted ha $x_n \in c_0$ tal que $x_n$ es de Cauchy con la distancia dada anteriormente.
Para cada una de las $k$, usted tiene $|x_n(k)-x_m(k)| \le d(x_n,x_m)$, por lo que hay algunos $x(k)$ tal que $x_n(k) \to x(k)$. Este es el candidato de la secuencia.
Ahora usted debe demostrar que $x \in c_0$$d(x,x_n) \to 0$.
Deje $\epsilon>0$, elija $N$ que si $m,n \ge N$ $d(x_n,x_m) < { 1\over 3} \epsilon$. Ahora elija $K$ tal que si $k \ge K$,$|x_N(k) | < { 1\over 3} \epsilon$. Entonces, para $k \ge K$ \begin{eqnarray} |x(k)| &\le& |x(k)-x_m(k)| + |x_m(k)-x_N(k)| + |x_N(k)| \\ &<& |x(k)-x_m(k)| + {2 \over 3}\epsilon \end{eqnarray} Ahora elija $m \ge N$ (que, en general, dependen de $k$) tales que $|x(k)-x_m(k)| < {1\over 3} \epsilon$, y vemos que $|x(k)| <\epsilon$. Por lo tanto $x (k) \to 0$$x \in c_0$.
Mostrando que $x_n \to x$ es similar: Vamos a $\epsilon>0$ y elija $N$ que si $m,n \ge N$ $d(x_n,x_m) < { 1\over 2} \epsilon$. Entonces, para $m,n \ge N$ hemos \begin{eqnarray} |x(k)-x_n(k)| &\le& |x(k)-x_m(k)| + |x_m(k)-x_n(k)| \\ &<& |x(k)-x_m(k)| + {1 \over 2} \epsilon \end{eqnarray} Ahora elija $m \ge N$ (que, en general, dependen de $k$) tales que $|x(k)-x_m(k)| < {1 \over 2} \epsilon$, entonces podemos ver que $|x(k)-x_n(k)| < \epsilon$ todos los $n \ge N$, y por lo $d(x,x_n) \le \epsilon$.
Deje $\{x_n\}$ ser una secuencia de Cauchy. A continuación, $d(x_n,x_m) \to 0$$n,m \to \infty$.
Deje $c \in \mathbb{N}$. Tenga en cuenta que para todos los $m,n$, $|x_m(c)- x_n(c)| \leq d(x_m-x_n)$.
Por lo tanto, $x_m(k)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$, para todos los fijos $k \in \mathbb{N}$. Por otra parte, $x_m(k)$ es uniformemente convergente, es decir, que dados los $\epsilon > 0$, $M$ lo suficientemente grande como para que $|x_m(k)-x(k)| < \epsilon$$m > M$, para todos los $k \in \mathbb{N}$.
Ahora, $\mathbb R$ es completa, de modo que existe $l_k$ tal que $x_m(k) \to l_k$.
Definir una nueva secuencia $x(k) = l_k$.
Ver que $d(x_n , x) = \sup |x(d)-x_n(d)|$. Por la convergencia uniforme de la propiedad, esto converge a cero, por lo tanto $x_n \to x$.
A ver que $x \in c_0$, queremos que $x(d) \to 0$$d \to \infty$. Sabemos que $x(d) = \lim x_n(d)$, por lo que el uso de este conocimiento, junto con el hecho de que $x_n(d) \to 0$$n \to \infty$, para mostrar que $x(d) \to 0$. (Es un límite de conmutación argumento).
