Aplicación de Teorema ergódico en movimiento browniano fraccional

Question

Para un movimiento Browniano fraccional $B_H$ considerar la secuencia de $p>0$ $$Y_{n,p}={1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left|B_H(i)-B_H(i-1)\right|^p.$$ Por el Ergodic Teorema es $$\lim\limits_{n\to\infty}Y_{n,p}=\mathbb{E}[|B_H(1)|^p] \ a.s.\text{ and in } L^1.$$ El Ergodic Teorema de Birkhoff dice:

Deje $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\tau)$ ser una medida de preservación de la dinámica del sistema, $p>0$, $X_0\in\mathcal{L}^p$ y $X_n=X_0\circ \tau^n$. Si $\tau$ es ergodic, entonces se mantiene $${1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}X_k\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mathbb{E}[X_0]\ a.s.\text{ and in }L^1.$$

Mi problema es que no sé cómo este teorema se utiliza en el caso descrito anteriormente, es decir, lo $\tau$ e lo $X_n$ en este caso?

Otra pregunta es: ¿por Qué tengo que usar el ergodic teorema, mientras que mediante el uso de la estacionalidad he a $$Y_{n,p}\sim {1\over n}\sum\limits_{i=1}^n |B_H(1)|^p=|B_H(1)|^p\ ?$$

Yo estaría muy agradecido por toda la ayuda y explicación.

Tal vez debería añadir diciendo que estoy tratando de entender cómo probar que un movimiento Browniano fraccional no es un semi-martingala para $H\neq {1\over2}$, mediante la aplicación de estas declaraciones.

Answer 1

1. La canónica cambio $\tau$ se define por la identidad $$(B_H\circ\tau)(t) =B_H(t+1)-B_H(1),\qquad t\geqslant0.$$ La estructura de covarianza de $B_H$ fácilmente implica que $\tau$ deja invariante la distribución del proceso $B_H=(B_H(t))_{t\geqslant0}$.

2. La convergencia de $Y_{n,p}$ es de hecho un caso especial de la ergodic teorema de $$X_0=|B_H(1)|^p,$$ desde entonces, para cada a $k\geqslant0$ y cada $t$, $(B_H\circ\tau^k)(t)=B_H(k+t)-B_H(k)$, por lo tanto $$X_0\circ\tau^k=|(B_H\circ\tau^k)(1)|^p=|B_H(k+1)-B_H(k)|^p.$$

3. La última parte del post está mal y esto es debido a una incomprensión básica: mientras que cada variable aleatoria $$X_k=|B_H(k+1)-B_H(k)|^p$$ es, de hecho, distribuidos de la $X_1=|B_H(1)|^p$, de ello no se sigue que $Y_{n,p}=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k$ se distribuye de la $\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_1=X_1$, ya que el conjunto de las distribuciones de los vectores aleatorios $(X_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ $(X_1)_{1\leqslant k\leqslant n}$ son bastante diferentes.