Para un movimiento Browniano fraccional BH considerar la secuencia de p>0 Yn,p=1nn∑i=1|BH(i)−BH(i−1)|p. Por el Ergodic Teorema es lim El Ergodic Teorema de Birkhoff dice:
Deje (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\tau) ser una medida de preservación de la dinámica del sistema, p>0, X_0\in\mathcal{L}^p y X_n=X_0\circ \tau^n. Si \tau es ergodic, entonces se mantiene {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}X_k\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mathbb{E}[X_0]\ a.s.\text{ and in }L^1.
Mi problema es que no sé cómo este teorema se utiliza en el caso descrito anteriormente, es decir, lo \tau e lo X_n en este caso?
Otra pregunta es: ¿por Qué tengo que usar el ergodic teorema, mientras que mediante el uso de la estacionalidad he a Y_{n,p}\sim {1\over n}\sum\limits_{i=1}^n |B_H(1)|^p=|B_H(1)|^p\ ?
Yo estaría muy agradecido por toda la ayuda y explicación.
Tal vez debería añadir diciendo que estoy tratando de entender cómo probar que un movimiento Browniano fraccional no es un semi-martingala para H\neq {1\over2}, mediante la aplicación de estas declaraciones.