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Aplicación de Teorema ergódico en movimiento browniano fraccional

Para un movimiento Browniano fraccional B_H considerar la secuencia de p>0 Y_{n,p}={1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left|B_H(i)-B_H(i-1)\right|^p. Por el Ergodic Teorema es \lim\limits_{n\to\infty}Y_{n,p}=\mathbb{E}[|B_H(1)|^p] \ a.s.\text{ and in } L^1. El Ergodic Teorema de Birkhoff dice:

Deje (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\tau) ser una medida de preservación de la dinámica del sistema, p>0, X_0\in\mathcal{L}^p y X_n=X_0\circ \tau^n. Si \tau es ergodic, entonces se mantiene {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}X_k\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mathbb{E}[X_0]\ a.s.\text{ and in }L^1.

Mi problema es que no sé cómo este teorema se utiliza en el caso descrito anteriormente, es decir, lo \tau e lo X_n en este caso?

Otra pregunta es: ¿por Qué tengo que usar el ergodic teorema, mientras que mediante el uso de la estacionalidad he a Y_{n,p}\sim {1\over n}\sum\limits_{i=1}^n |B_H(1)|^p=|B_H(1)|^p\ ?

Yo estaría muy agradecido por toda la ayuda y explicación.

Tal vez debería añadir diciendo que estoy tratando de entender cómo probar que un movimiento Browniano fraccional no es un semi-martingala para H\neq {1\over2}, mediante la aplicación de estas declaraciones.

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Did Puntos 1

1. La canónica cambio \tau se define por la identidad (B_H\circ\tau)(t) =B_H(t+1)-B_H(1),\qquad t\geqslant0. La estructura de covarianza de B_H fácilmente implica que \tau deja invariante la distribución del proceso B_H=(B_H(t))_{t\geqslant0}.

2. La convergencia de Y_{n,p} es de hecho un caso especial de la ergodic teorema de X_0=|B_H(1)|^p, desde entonces, para cada a k\geqslant0 y cada t, (B_H\circ\tau^k)(t)=B_H(k+t)-B_H(k), por lo tanto X_0\circ\tau^k=|(B_H\circ\tau^k)(1)|^p=|B_H(k+1)-B_H(k)|^p.

3. La última parte del post está mal y esto es debido a una incomprensión básica: mientras que cada variable aleatoria X_k=|B_H(k+1)-B_H(k)|^p es, de hecho, distribuidos de la X_1=|B_H(1)|^p, de ello no se sigue que Y_{n,p}=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k se distribuye de la \frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_1=X_1, ya que el conjunto de las distribuciones de los vectores aleatorios (X_k)_{1\leqslant k\leqslant n} (X_1)_{1\leqslant k\leqslant n} son bastante diferentes.

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