Para un movimiento Browniano fraccional B_H considerar la secuencia de p>0 Y_{n,p}={1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left|B_H(i)-B_H(i-1)\right|^p. Por el Ergodic Teorema es \lim\limits_{n\to\infty}Y_{n,p}=\mathbb{E}[|B_H(1)|^p] \ a.s.\text{ and in } L^1. El Ergodic Teorema de Birkhoff dice:
Deje (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\tau) ser una medida de preservación de la dinámica del sistema, p>0, X_0\in\mathcal{L}^p y X_n=X_0\circ \tau^n. Si \tau es ergodic, entonces se mantiene {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}X_k\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mathbb{E}[X_0]\ a.s.\text{ and in }L^1.
Mi problema es que no sé cómo este teorema se utiliza en el caso descrito anteriormente, es decir, lo \tau e lo X_n en este caso?
Otra pregunta es: ¿por Qué tengo que usar el ergodic teorema, mientras que mediante el uso de la estacionalidad he a Y_{n,p}\sim {1\over n}\sum\limits_{i=1}^n |B_H(1)|^p=|B_H(1)|^p\ ?
Yo estaría muy agradecido por toda la ayuda y explicación.
Tal vez debería añadir diciendo que estoy tratando de entender cómo probar que un movimiento Browniano fraccional no es un semi-martingala para H\neq {1\over2}, mediante la aplicación de estas declaraciones.