Contando idénticos perlas en un collar

Question

Supongamos que tengo 11 bolas. 4 de ellos son de color rojo y 3 de ellos son de color azul. Los 4 restantes son todos distintos (lo acaba de decir, etiquetados de 1 a 4).

Si estas cuentas estaban en una línea recta, a continuación, calcular el número de permutaciones es bastante simple. Es $\dfrac{11!}{4!3!}$.

Supongamos ahora que están en un collar. Sería la respuesta sea tan simple como $\dfrac{10!}{4!3!}$, donde hemos reducido uno de los elementos del numerador debido a tener un fijo en cuenta como un 'punto de referencia', como generalmente lo hacen para circular arreglos?

Siento que no es justo este sencillo, y que hemos abierto una nueva lata de gusanos por haber idénticos perlas.

Si ese es el caso, lo que está mal con la lógica anterior, y ¿por qué el grado de complejidad del cambio inmensamente con un simple cambio en los arreglos (en línea recta vs circular)?

Answer 1

Asumir que las cuentas son todos los pedidos, por lo que el collar está en una posición fija. Luego hay $\frac{11!}{3!4!}$ colorantes.

Sin embargo, cada color es idéntica a la de los otros cinco los colorantes que se obtiene girando el cuello por un cordón, dos bolas.... cinco perlas. Tenga en cuenta que todas estas rotaciones tienen que ser diferentes debido a la primalidad de $11$. Si dos de ellos, donde la igualdad, entonces, todos ellos tendrían que ser iguales, pero si todas las rotaciones son iguales, entonces todas las cuentas tendría que ser igual que va en contra del problema de la hipótesis.

Por lo tanto, hay $\frac{11!}{3!4!6}$ diferentes tipos de collares. Esto es igual a $46200$

Answer 2

Es necesario dividir por 2 porque usted puede girar el collar sobre @Gamamal. Esta es la captura que distingue a las preguntas relativas a los arreglos en un círculo como se opuso a los acuerdos de un collar.