Compacidad/ No-Compacidad de $\left\{\tan(1/n): n\in\mathbb{N}\right\}\cap [0,1]\subset\mathbb{R}$

Question

Examinar la compacidad de $M:=\left\{\tan(1/n): n\in\mathbb{N}\right\}\cap [0,1]\subset\mathbb{R}$ con respecto al valor absoluto.

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Llegué a la conclusión de que $M$ no es compacto, ya que por la compacidad de cada secuencia en $M$ necesita tener un convergentes larga con límite de en $M$.

Creo que el $(a_n)_{n\geq 2}$ $a_n:=\tan(1/n)$ es un contador de ejemplo, ya que cada subsequence de que deben converger a $0\notin M$.

Answer 1

Estás en lo correcto, es compacto (en un espacio métrico) implica secuencialmente compacto. Sin embargo, puede utilizar incluso un resultado más débil, compacto (en un espacio métrico) implica cerrado. La secuencia que hemos dado converge en $[0,1]$, pero su límite no está en el conjunto, por lo que su conjunto no es cerrado, por lo tanto no compacto.

Usted puede querer justificar lo $\tan(1/n) \to 0$$n\to \infty$, pero esa es la única cosa que creo que podría hacer para su solución.

Answer 2

Su intuición es correcta. Más rigurosamente, si $a_{n_k}$, considerada como una secuencia de $M$ convergían para algunos $p \in M$, $a_{n_k}$ también convergen a $p$ $\mathbb{R}$ pero desde $a_n \to 0$$\mathbb{R}$, tendríamos $p = 0 \in M$, una contradicción.