Matriz con rango máximo en una familia de matrices

Question

Considerar a la familia de $n \times n$ real de las matrices de $A$, por lo que hay un $n \times n$ real de la matriz$B$$AB-BA=A$. Cómo de grande puede que el rango de una matriz en esta familia?

La motivación

Prasolov el libro contiene un ejercicio demostrar que si $A,B$ son matrices con $AB-BA=A$ $A$ no puede ser invertible. (Es fácil probar esta multiplicando ambos lados de la ecuación por $A^{-1}$ suponiendo que existe y, a continuación, tomar de seguimiento.)

Traté de subir con ejemplos concretos de tales matrices $A,B$ $A$ tener el mayor rango posible. Mediante la restricción de $B$ a de la diagonal de las matrices de uno viene con un criterio muy simple y es fácil de construir matrices con rango de $\lfloor n/2 \rfloor$. Por ejemplo, para $ n = 4$ $ad - bc \neq 0$ hemos $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Answer 1

Con $n=3$, se puede obtener el rango 2, por ejemplo, $$A=\pmatrix{0&1&1\cr0&0&1\cr0&0&0}\qquad B=\pmatrix{0&1&c\cr0&1&0\cr0&0&2\cr}$% $# %n-1 de #%.

Answer 2

Usted puede tener una solución de rango $n-1$. Un ejemplo de que (si no recuerdo mal) ha aparecido en este sitio es $A$ $n\times n$ triangular superior nilpotent Jordania bloque y $B=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$.