Si $f(x)=f'(x)+f''(x)$ entonces demuestre que $f(x)=0$

Question

Una función de valor real $f$ que es infinitamente diferenciable en $[a.b]$ tiene las siguientes propiedades:

• $f(a)=f(b)=0$
• $f(x)=f'(x)+f''(x)$ $\forall x \in [a,b]$

Demuestra que $f(x)=0$ $\forall x\in [a.b]$

He intentado utilizar el Teorema de Rolle pero sólo me dice que existe un $c \in [a.b]$ para lo cual $f'(c)=0$ .

Todo lo que consigo es:

• $f'(a)=-f''(a)$
• $f'(b)=-f''(b)$
• $f(c)=f''(c)$

De alguna manera, ninguno de estos me dirige a la solución.

Answer 1

Sugerencia $f$ no puede tener un máximo positivo en $c$ desde entonces $f(c)>0, f'(c)=0, f''(c) \le 0$ implica que $f''(c)+f'(c)-f(c) < 0$ . Del mismo modo $f$ no puede tener un mínimo negativo. Por lo tanto $f = 0$ .

Answer 2

Sea $x=c$ sea el $x$ coordenada del máximo absoluto de $f(x)$ en $[a,b]$ . (Este punto existe por el teorema del valor extremo). Demostraré que $f(c) = 0$ . Desde $f(a) = 0$ y $c$ es el máximo absoluto, $f(c)\geq 0$ . Por el teorema de Fermat, sabemos que $f'(c) = 0$ . Por lo tanto, sabemos que $f(c) = f''(c)\geq 0$ .

Ahora, supongamos por una contradicción que $f(c) > 0$ Así que $f''(c) > 0$ y $c\neq a$ y $c\neq b$ . Afirmo que para $x$ lo suficientemente cerca de $c$ pero más grande que ella, que $f(x) > f(c)$ contradiciendo la maximalidad de $f(c)$ .

Desde $f''$ es continua, para $x$ lo suficientemente cerca de $c$ digamos, dentro de $\delta$ tenemos $f''(x) > 0$ . En el intervalo donde $c<x<c+\delta$ , $f'(x) \geq 0$ con igualdad sólo en $x=c$ . Esto se deduce del teorema del valor medio aplicado a $f'$ porque si $f'(x)\leq 0$ para un punto $x\in(c,c+\delta)$ entonces por el MVT, $f''(d) \leq 0$ para algunos $d\in(c,c+\delta)$ dando lugar a una contradicción.

De ello se deduce que $f(x)>f(c)$ para $x\in(c,c+\delta)$ porque, de nuevo por el MVT, tenemos $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f'(d) > 0$ para algunos $d\in(c,c+\delta)$ así que.., $f(x) - f(c) > 0$ .

Por lo tanto, contradecimos la maximalidad de $f(c)$ . De esta contradicción deducimos $f(c) = 0$ es el máximo de la función. Ahora, repite un argumento similar para $-f$ (cambiando el intervalo $(c,c+\delta)$ a $(c-\delta, c)$ ) para deducir el valor mínimo de $f$ es $0$ . De ello se deduce que $f$ es idénticamente $0$ .

Answer 3

Pista: Que $\alpha$ y $\beta$ sean las raíces de $X^2+X-1$ .

(a) Comprobar que $f$ satisface $$ \left(\frac{d}{dx}-\alpha\right)\left(\frac{d}{dx}-\beta\right)f=0. $$ (b) Resuelve la ecuación anterior resolviendo dos EDO de la forma $y'-cy=g(x)$ . (Si no sabe cómo resolver $y'-cy=g(x)$ Si lo desea, le daré otra pista con mucho gusto).

(c) Concluir.

Answer 4

Ya que sabes cómo resolver $y'' = y$ (y por lo que presumo $y'' = ky$ ) aquí tienes una forma de poner tu ecuación en esa forma.

Utilizaremos la identidad

$$ (fg)'' = f'' g + 2f'g' + fg''$$

Ajuste ahora $g = e^{kx}$ nos da

$$ (fe^{kx})'' = e^{kx} (f'' + 2kf' + k^2f)$$

Para eliminar $f''$ y $f'$ fijamos $k=\frac{1}{2}$ para obtener

$$ (f e^{x/2})'' = e^{x/2} (f'' + f' + f/4) = e^{x/2} (5f/4)$$

(utilizando el $f = f' + f''$ )

Ahora puede configurar $y = f(x)e^{x/2}$ para obtener

$$ y'' = \frac{5}{4} y$$