Topología del plano medio superior terminado

Question

Definir la topología en $\mathbb{H}^* : = \mathbb{H} ∪ \mathbb{Q} ∪\infty$ by taking a basis of open sets around $\infty$ to be $S_{\epsilon} : = \{ z ∈ H : Im ( z ) > 1 /\epsilon \}∪\infty$ y teniendo $Γ( 1 )$ -transforma para obtener bases de abrir conjuntos de alrededor de los puntos en $\mathbb{Q}$ (junto con la topología usual en $\mathbb{H}$ ).

Croquis de los barrios de bloques abiertos en torno a algunos puntos en $\mathbb{Q}$

(aquí, $\mathbb{H}$ es la mitad superior del plano y $Γ(1)$ es $Γ(1):=Γ(1)′/\{±I\})$ donde $Γ(1)′:=SL(2,\mathbb{Z})$ )

Super pegado, cualquier ayuda muy apreciada!

Answer 1

Si $a/b \in \mathbf Q$ $(a,b) =1$, existen enteros $m, n$ tal que $am-bn=1$ (identidad de Bezout). El % de transformación modular $z \mapsto (az + n)/(bz + m)$pertenece a $\Gamma$, y envía $\infty$ $a/b$. ¿Qué enviar % barrio $S_\epsilon$a? (Mira donde manda la línea de $\text{Im } z = 1/\epsilon$.)

Answer 2

Para ver cómo los barrios de $x\in\mathbb{Q}$ $\mathbb{H}^\ast$ look, es útil para obtener primero una imagen de cómo los barrios $S_\varepsilon$ $\infty$ mira, cuando se ve como subconjuntos de la esfera de Riemann. La línea recta $\operatorname{Im} z = 1/\varepsilon$ se convierte en un círculo tangente a la gran círculo correspondiente a $\mathbb{R}\cup \{\infty\}$, tocando en el polo norte. Las transformaciones de Möbius mapa de círculos en la esfera de los círculos de la esfera, por lo que la vecindad de una $x\in\mathbb{Q}$ correspondiente a $S_\varepsilon$ está delimitado por un círculo tangente a la misma gran círculo, tocando en el punto correspondiente a $x$. En el plano, se convierte en un círculo en la mitad superior del plano tangente a $\mathbb{R}$, tocando en $x$. Así el barrio de $x$ correspondiente a $S_\varepsilon$ es la unión de un disco abierto en la mitad superior del plano cuyo centro tiene parte real $x$ y cuyo límite círculo es tangente a $\mathbb{R}$,$\{x\}$.