Tanto el de Euler-Maclaurin de la fórmula de sumación de Poisson son ejemplos básicos de ideas más profundas. Pero en su núcleo, las ideas subyacentes son muy diferentes.
El de Euler-Maclaurin fórmula puede ser considerado como viene de la repetición de integración por partes, respecto a la inicial de la suma como un Rieman-Stieltjes integral
$$ \sum f(n) = \int_a^b f(t) d \lfloor t \rfloor, $$
donde los términos constantes en el antiderivatives que aparecen en las integraciones por partes son elegidos para minimizar algunos de la cruz de error. Este resulta ser el mismo punto de vista como el de estimar el error esperado en un iterado compuesto de la regla trapezoidal para la estimación de la integral.
En su núcleo, de Euler-Maclaurin preocupaciones de la estimación de la diferencia entre la discreta y continua de sumas de una buena función $f(t)$. Para ello, existen generalizaciones a dimensiones superiores, y en particular a las funciones en polytopes. Ver este MO pregunta para más información sobre esta conexión, pero el tema sigue siendo que se estima un discretizado suma (que a menudo es bastante difícil de entender, pero más fácil de calcular) con un integrante (que a menudo es mucho más fácil entender las propiedades de, pero puede ser difícil llegar a calcular).
Muchos ejemplos de primaria y la teoría analítica de números de éxitos de Euler-Maclaurin fórmulas surgir de computación de alta precisión de las estimaciones de cantidades discretas de muy buen comportamiento de las funciones, tales como la computación
$$ \sum \log n, \quad \sum \frac{1}{x}.$$
En estos casos, la suavidad de las propiedades de la función de $f$ son más fáciles de ver desde la integral.
Por el contrario, de Euler-Maclaurin fórmulas que se utilizan para dar de alta precisión de las estimaciones de las integrales en la norma numérica de los métodos de análisis, como discretos sumas con un error comprensible los términos computable y estimable. Tenga en cuenta que cuando la aproximación de una integral $\int_1^b f(x) dx$, el error viene en el formulario de alta de los derivados de la $f$, por lo que este todavía aprovecha la suavidad de las propiedades de $f$, pero de una manera diferente.
La sumación de Poisson es de naturaleza muy diferente. La sumación de Poisson preocupaciones de la serie de Fourier, o tal vez dijo más fundamentalmente, la transformada de Fourier. El subyacente de la gran imagen, se refiere a la estructura de $\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$, y de cómo $\mathbb{Z}$ se comporta dentro de $\mathbb{R}$ como un subgrupo discreto.
Uno puede estudiar de sumación de Poisson para $\mathbb{Z}^n$ sentado dentro de $\mathbb{R}^n$ o, más en general, el grupo de cocientes. Llevando esto a un extremo conduce a la Selberg Traza de Fórmula (y, de hecho, uno puede ver directamente regulares de sumación de Poisson como un "trivial" de seguimiento de la fórmula. Este punto de vista es evidente en el capítulo introductorio de la Protuberancia del Automorphic Formas y Representaciones, como una forma de motivar a los eventuales progresos hacia la discusión de seguimiento de las fórmulas). Desde este punto de vista, es claro que la sumación de Poisson es fundamentalmente una consecuencia de la representación de la teoría de la información.
Aunque más de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, esto se ve superficialmente similar a la integral de Euler-Maclaurin resumen, yo diría que las ideas subyacentes son sustancialmente diferentes.
