Homología con coeficientes locales como un functor de espacios acentuados, conectado por el camino y $\pi_1$-módulos.

Question

Un sistema local de los coeficientes en un espacio de $X$ es un functor $F\colon \Pi(X)\rightarrow Ab$ de la fundamental groupoid a la categoría de abelian grupos. A partir de esto, se puede definir la homología de grupos de $X$ con local coeficientes de $H_*(X,F)$ como se hace por ejemplo, en el capítulo VI de Whitehead del libro "Elementos de homotopy teoría". En ella, también se muestra que en esta construcción, los rendimientos de los functors $H_i$ a partir de la categoría de los espacios locales coeficientes (una de morfismos entre (X,F) y (Y,G) es un mapa continuo $f\colon X\rightarrow Y$, con una transformación natural $\eta\colon F\rightarrow f^*G$) a la categoría de abelian grupos.

Supongamos ahora que $X$ es la ruta de acceso conectado y tiene un punto de base $x\in X$. A continuación, la inclusión $\pi_1(X,x)\rightarrow \Pi(X)$ es una equivalencia de categorías, de modo que podemos elegir una inversa functor $i\colon \Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$. Si tenemos un módulo de $F$ $\pi_1(X,x)$ (que es el mismo que el de un functor $\pi_1(X,x)\rightarrow Ab$), obtenemos un functor $\Pi(X)\rightarrow Ab$$F\circ i$.

Por lo tanto, podemos definir la homología de grupos de $X$ local con coeficientes en la $\pi_1(X,x)$-módulo de $F$$H_*(X,F):=H_*(X,F\circ i)$.

Primera pregunta: ¿por Qué esta definición independiente de los elegidos inverso $i$?

Parece ser una cosa común para identificar coeficiente de sistemas a través de una ruta de acceso conectado espacio con módulos sobre el grupo fundamental en un punto elegido, así que esto tiene que ser cierto.

Segunda pregunta: ¿esta definición se extiende a un functor $H_i$ a partir de la categoría de punta trayectoria-conectado espacios de $(X,x)$ con los módulos a través de $\pi_1(X,x)$, donde morfismos entre el $(X,x,F)$ $(Y,y,G)$ son continuos los mapas de $f\colon X\rightarrow Y$ junto con un $\pi_1(f)$-equivariant mapa de $F\rightarrow G$.

Como la identificación de los mencionados anteriormente es abundante en los libros y papeles dentro de la topología algebraica, esto debe ser cierto, pero me encuentro con dificultades en probar este. El problema principal parece ser que podría no ser posible elegir los inversos $i\colon\Pi(X)\rightarrow \pi_1(X,x)$, de tal manera que forman una transformación natural.

Answer 1

1. Inversos son únicos hasta un único isomorfismo, es decir, si $F : C \to D$ es un functor y $G_1, G_2 : D \to C$ son dos inversos, hay una natural único isomorfismo $G_1 \cong G_2$ compatible con los datos de una inversa. (Esto puede requerir algunos sutiles modificaciones a la ingenua idea de que "los datos de un inversa": una definición que debe estar bien es una izquierda adjunto en donde la unidad y counit son isomorphisms.)

2. Sí, todo está bien. Tal vez he malinterpretado tu pregunta, pero yo no veo por qué usted necesita recoger a la recíproca, para que esta declaración: existen mapas de $\pi_1(X, x) \to \Pi_1(X)$ de groupoids y usted sólo tenga que retirarse de los sistemas locales a lo largo de estos mapas.