Productos de CW-complejos

Question

Actualmente estoy leyendo a través de la "Topología Algebraica" y en el capítulo de CW-complejos se muestra que un producto de CW-complejos es de nuevo un CW-complejo, porque uno puede definir el producto de las células utilizando el canónica homeomorphism $(D^{n}, S^{n-1}) \simeq (D^{p} \times D^{q}, D^{p} \times S^{q-1} \cup S^{p-1} \times D^{q})$.

Sin embargo, recuerdo haber escuchado que un producto de CW-complejos no necesita ser de nuevo un CW-complejo, es decir,. la topología en él no es el correcto. Aquí, se Puede trabajar en la categoría de manera compacta, genera espacios y la topología de este producto puede en general ser más fino que el producto habitual de la topología.

Es fácil ver, que es este caso de la topología en el producto de CW-complejos es el de la derecha?

Answer 1

Deje $X$ $Y$ CW complejos. Deje $X\times Y$ ser la habitual del producto (en $\mathbf{Top}$, la categoría de todos los espacios), y deje $X\times_k Y$ $k$- ification de $X\times Y$, lo $X\times_k Y$ es el producto en $\mathscr U$, la categoría de $k$-espacios. Por $X\times_c Y$ denominaremos a la estructura de CW en el producto.

Por eso queremos demostrar que la identidad de $i:X\times_k Y\to X\times_c Y$ es un homeomorphism.

• Deje $j$ denotar la función inversa a $i$. Desde el CW complejo de $X\times_c Y$ es un cociente de un topológica de la suma de bolas $D_{\alpha,\beta}^{m+n}\cong D_α^m\times D_β^n$, cada una con un mapa de características $\Phi_{α,β}:D_α\times D_β\to X\times_c Y$, es suficiente para mostrar que $j\circ\Phi_α$ es continua para cada una de las $α$, es decir, que $\Phi_α\times\Phi_β$ es continua en a $X\times_k Y$. Pero ya que es un mapa de prueba a $X\times Y$ (un mapa de un compacto Hausdorff espacio a $X\times Y$) y el $k$-producto tiene la topología final con respecto a todos estos mapas, es también un mapa de la $k$-producto. Por lo tanto $j$ es continua.
• Para mostrar que $i$ es continuo, nos muestran que la $i\circ t$ es continua para cualquier mapa de prueba $t:K\to X\times Y$: tenga en cuenta que $t$ tiene coordenadas $t_X, t_Y$, y cada uno tiene una imagen compacta que es lo que figura en un número finito de subcomplejo $C_X$ o $C_Y$ $X$ o $Y$, respectivamente. Ahora el $k$producto $C_X\times_k C_Y$ (que es un subespacio de $X\times_k Y$) es homeomórficos a la compleja $C_X\times_c C_Y$: Hemos demostrado que $C_X\times_c\times C_Y\to C_X\times_k C_Y$ es continuo, de modo que, como un mapa de un compacto de un espacio de Hausdorff, es un homeomorphism. Eso significa que $t$ es continuo, como un mapa a $C_X\times_c C_Y$, lo $i\circ t$ es continua.

Espero que todo está correcto, es fácil perder la pista con todos estos diferentes topologías que vuelan alrededor, así que les animo a comprobar lo que hice aquí.