¿Es parte de la lógica para la distribución de Gauss que la función de densidad responde a la ecuación diferencial $y' = -xy$? ¿O es esto más o menos incidental?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la densidad de $g$ de la norma de distribución de gauss, que se define por $$ g(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\mathrm e^{-\xi^2/2}. $$ El hecho de que $g$ resuelve la ecuación diferencial $$ g'(\xi)=-\xi g(\xi)\etiqueta{$\dagger$} $$ puede parecer una coincidencia, pero otra ecuación diferencial resuelto por $g$, lo que uno puede deducir de $(\dagger)$, no es casual en absoluto.
A saber, por la homogeneidad, para cada $t\gt0$, $$ p_t:x\mapsto t^{-1/2}g(t^{-1/2}x) $$ es la densidad de la posición de una partícula Browniana esté en tiempo de $t$. Uno ve que $$ \partial_tp_t(x)=-\tfrac12t^{-3/2}g(t^{-1/2}x)-\tfrac12t^{-2}xg'(t^{-1/2}x). $$ Asimismo, $$ \Delta_xp_t(x)=t^{-3/2}g"(t^{-1/2}x). $$ Por otro lado, por la diferenciación, $(\dagger)$ implica que $$ g"(\xi)=-g(\xi)-\xi g'(\xi).\la etiqueta{$\ddagger$} $$ Y, utilizando la abreviatura $\xi=t^{-1/2}x$, uno ve que $(\ddagger)$ es equivalente a la identidad $$ -\tfrac12t^{-3/2}g(\xi)-\tfrac12t^{-3/2}\xi g'(\xi)=\tfrac12t^{-3/2}g"(\xi), $$ es decir, $$ \partial_tp_t(x)=\tfrac12\Delta_xp_t(x).\la etiqueta{$\natural$} $$ En resumen, la diferenciación $(\dagger)$, se obtiene $(\ddagger)$, que es equivalente a la ecuación del calor $(\natural)$ (no es una sorpresa cuando uno juega con la transición del núcleo de un movimiento Browniano).
