Significado de "idénticamente distribuido" cuando sólo hay una variable

Question

De la página 8 del libro de Rasmussen Procesos gaussianos para el aprendizaje automático :

Todo esto es bastante básico... pero ¿qué quieren decir con "idénticamente distribuidas" en la última frase? Entiendo que si tenemos una colección de variables aleatorias, nos referimos a ellas como idénticamente distribuidas para significar que todas tienen la misma distribución. Pero aquí $\epsilon$ es sólo una variable aleatoria. Entonces, ¿qué significa "idénticamente distribuida"?

Answer 1

Usted tiene $n$ observaciones, $y\in\mathbb{R}^n$ . Usted tiene correspondientemente $n$ términos de ruido, $\epsilon\in\mathbb{R}^n$ . La última frase significa que cada término de ruido separado $\epsilon_i$ está idénticamente distribuido y que son independientes.

(En situaciones más generales, el $\epsilon_i$ puede no ser idénticamente distribuidos, o dependientes, por ejemplo, en el análisis de series temporales. En esta situación se necesitan herramientas más complejas).

Answer 2

La distribución idéntica generalmente significa que cada observación de una variable se muestreó de forma independiente a partir de una distribución idéntica a cualquier otra observación en esa variable .

Un simple paseo aleatorio en el que $y_{y} = y_{t-1} + 2\mathcal{Bernouli}\left(0.5\right)-1$ es un ejemplo de variable ( $y_{t}$ ) que no es i.i.d.: cada valor de $y_{t}$ depende directamente de su valor inmediatamente anterior y, de hecho, el proceso "recuerda" infinitamente todas las perturbaciones. Además, la varianza de $y_{t}$ es una función de $t$ (de hecho, $\sigma^{2}_{y_{t}}=t$ ), lo que significa que los diferentes valores de esta serie temporal no pueden tener "la misma" distribución.