Exponente de Prime en un Factorial

Question

Sólo estaba tratando de calcular el exponente $7$ en el número $343!$. Creo que la técnica correcta es $$\frac{343}{7}+\frac{343}{7^2}+\frac{343}{7^3}=57.$$ If this is right, can the technique be generalized to $p$ a prime number, $n$ any positive integer, then the exponent of $p$ in $n!$ will be $$\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\quad ?$$ Here, $\lfloor\cdot\rfloor$ denotes the integer less than or equal to $\cdot$.

Obviamente, la suma es finita, pero no sabía si era correcto (ya que su veracidad depende de todas formas mi primera solución).

Answer 1

La solución y su generalización están correctas, como @M.B. señala en los comentarios al post original. Como corolario, esto proporciona una manera fácil de contar el número de ceros.

Answer 2

¿Por qué es así ?

Para formar el valor de $n$, todos los números enteros $1,2,\cdots n$ entrar en juego factores, y algunos de ellos son múltiplos de $p$.

Cuántos de ellos ? Bien, $n'=\lfloor\dfrac np\rfloor$.

Entonces, si que descartar otros factores y simplificar el producto restante por $p^{n'}$, se termina con la expresión de $n'!$. A continuación, repita el proceso hasta que todos los factores son consumidos.

Por ejemplo, con $n=13,p=3$:

$$13!=1\cdot2\cdot\color{green}3\cdot4\cdot5\cdot\color{green}6\cdot7\cdot8\cdot\color{green}9\cdot10\cdot11\cdot\color{green}{12}\cdot13$$ ha $4$ múltiplos de $3$ y el resto de los factores $$4!=1\cdot2\cdot\color{green}3\cdot4$$ que ha $1$ otro factor y el resto $$1!=1.$$

Este razonamiento se establece la recurrencia

$$N_p(n!)=\lfloor\frac np\rfloor+N_p\left(\lfloor\frac np\rfloor!\right),$$

con la solución

$$N_p(n!)=\sum_{k=1}^{p^k\le n}\lfloor\dfrac n{p^k}\rfloor.$$