¿Qué es la equivalencia de octava?

Question

Esta es una copia actualizada de una pregunta que hice en Physics Stack Exchange no hace mucho tiempo. Dado que trabajo principalmente en matemáticas, pensé que sería una buena idea preguntarlo aquí también (especialmente después de ser inspirado por la popularidad de esta pregunta ).

Como parte de un trabajo que he estado haciendo en el procesamiento de señales y el análisis de Fourier , recientemente me encontré con un par de preguntas con respecto a la "equivalencia de octava", la sensación psicoacústica de que las frecuencias que difieren entre sí por una potencia de 2 son de alguna manera "la misma". Me gustaría incorporar esto a una construcción que estoy haciendo en mi trabajo, aunque preferiría que no fuera ad hoc o incluso mayormente biológico; es decir, me gustaría algún tipo de enunciado matemático del que pudiera "leer" el fenómeno de la equivalencia de octava de la misma manera que se puede "leer" el fenómeno de los latidos a partir de (si no recuerdo mal), la fórmula del doble ángulo.

No parece haber demasiada literatura sobre este tema, pero esto es lo que he encontrado hasta ahora. Al parecer, la cóclea de nuestro oído hace algo parecido a una transformada de Fourier con ventanas. Tras extraer el contenido frecuencial de una señal auditiva, el cerebro infiere la fundamental a partir de los parciales disponibles. Por eso, al escuchar realmente frecuencias de, por ejemplo, 400, 500, ..., 900 Hz, podemos percibir una fundamental de 100 Hz. Así que, según esta lógica, el fenómeno de la equivalencia de las octavas surge porque las frecuencias $f$ y $2f$ comparten tantos parciales dentro de la ventana dada, de hecho, más que con cualquier otra frecuencia $nf$ para $n>2$ .

¿Es esto suficiente? No estoy seguro de que lo sea. Por ejemplo, estuve jugando en Maple con ondas sinusoidales puras, y parece que la capacidad de percibir afinidades de tono, como se llaman, se ve significativamente empañada cuando no se utilizan señales complejas. No estoy seguro de por qué ocurre esto.

Además, para anticiparme a las declaraciones de la gente, sé que estas cuestiones tienen también un componente cultural. Sin embargo, por lo que he leído, la equivalencia de octava se ha detectado en ratas y en bebés humanos, lo que hace que parezca al menos algo universal. Lo que se haga con este fenómeno, por supuesto, está completamente sujeto a las particularidades del lugar de cada uno en el mundo.

Si alguien pudiera indicarme algo en la literatura de física matemática sobre este tema, estaría muy agradecido.

Gracias.

Answer 1

Visite http://www.a3ccm-apmas-eakoh.be/index.htm

ISBN 978-90-816095-1-7 La aplicación de la física tiene sentido auditivo

       A New Paradigm in Hearing

       Willem Chr. Heerens

       and

       J. Alexander de Ru

       ©2010 Heerens and De Ru

"La señal sonora entrante se transforma en la señal de energía sonora dentro de la cóclea. Es esta señal la que evoca tanto las vibraciones mecánicas en la membrana basilar como los estímulos eléctricos correspondientes en el órgano de Corti, estímulos que posteriormente se envían al cerebro de forma selectiva en cuanto a la frecuencia."

Matemáticamente, esto significa que la cóclea de los mamíferos diferencia y eleva al cuadrado la señal de presión sonora entrante.

En términos físicos, significa que se ofrece una señal de energía sonora al órgano de Corti. Funcionando como un analizador de Fourier, el órgano de Corti convierte posteriormente estas señales entrantes en el espectro de frecuencias de la energía sonora que se transfiere a la corteza auditiva de forma selectiva en cuanto a la frecuencia.

Resultados experimentales destacados hasta el momento - Para los complejos tonales residuales -series armónicas en las que falta el primer armónico o fundamental- el proceso de diferenciación y cuadratura en la cóclea reconstruye perfectamente el fundamental correspondiente pero ausente. - En contra de la conclusión de que un mecanismo neural temprano es responsable del misterio del tono inferencial, existen pruebas sólidas de que la causa de esta reconstrucción del tono virtual o fundamental es de origen hidrodinámico.

Answer 2

Creo que un buen comienzo sería La música: Una oferta matemática de Dave Benson, especialmente el capítulo 4.

Mi recuerdo coincide definitivamente con el tuyo en que nuestra percepción de las octavas consonantes (y quintas, etc.) es un fenómeno que se produce con sonidos complejos (tonos con series de sobretonos incluidos) y no con ondas sinusoidales puras.

Recuerdo haber leído en alguna parte cómo la investigación de las formas de onda específicas de un oboe y una trompa puede mostrar matemáticamente por qué una tercera mayor suena bien con la trompa sobre el oboe, pero una cuarta perfecta suena bien con el oboe sobre la trompa. (Por favor, considere cada detalle específico de esa frase como extremadamente sospechoso).

Answer 3

La valoración de la metainformación falla en todos los factores de dos de un determinado fundamental dentro del rango discriminable, para todas las modalidades y para todas las especies. Es un límite inherente al procesamiento de información multicelular.

La paradoja de la equivalencia de octava se resuelve observando que lo que suena "igual" y lo que suena "diferente" son dos entidades diferentes: los estímulos en sí mismos y la información sobre su relación. Los estímulos siguen siendo diferentes (más agudos y más graves), y la "igualdad" es una moneda más fundamental, no exclusiva de la audición...

Sin una base de igualdad no tendríamos ningún valor empírico de diferencia, ni peso informativo, y los factores de dos de un componente fundamental son las relaciones de frecuencia más sencillas posibles; todas las demás son, por definición, más complejas, y se resuelven en ventanas de integración temporal cada vez más amplias.

En mi opinión, la paradoja de la equivalencia de la octava es una gran pista sobre la naturaleza de la entropía informativa en la cognición, y una pieza clave del rompecabezas para resolver el problema de la unión...

Answer 4

La equivalencia de las octavas proviene de la vibración simpática. Si se toca un Sib, por ejemplo, en una trompeta en un piano con el pedal de sustain pisado, todas las cuerdas de Sib sonarán en el piano. Si las cuerdas del piano estuvieran afinadas en la serie de sobretonos del Sib, el Fa, el Re y el Ab también sonarían, pero con menos fuerza. Las otras cuerdas de un piano de igual temperamento no vibrarán con simpatía debido a la variación microtonal de las frecuencias de conducción. Los pelos de la cóclea están sujetos a este mismo fenómeno. Si un sonido hace vibrar un pelo, hará vibrar a todos los pelos (aproximadamente) el doble o la mitad de su longitud.

Answer 5

La equivalencia de octavas es un fenómeno aprendido. No hay ningún razonamiento matemático que explique por qué deberíamos escuchar una relación de frecuencia de 2:1 como más "equivalente" que 3:1 o 5:1, por ejemplo.

Consulte la escala Bohlen-Pierce para ver un ejemplo de escala que utiliza la tritave (relación de frecuencia de 3:1) como intervalo de equivalencia en lugar de la octava. Muchas personas (por ejemplo, Elaine Walker, defensora de la escala BP) afirman que pueden oír las tritavas como equivalentes, tras años de experiencia personal con la escala.

En cuanto a la literatura sobre el tema, te recomendaría que consultaras Afinación, Timbre, Espectro, Escala de William Sethares. Si no puedes conseguir este libro, Sethares y Milne tienen muchos otros estudios relacionados con el efecto psicoacústico del timbre en los intervalos.