Pregunta de un libro de topología con respecto a la topología uniforme

Question

Soy capaz de probar que T asigna funciones continuas a funciones continuas pero estoy perdido cuando se trata de probar que T es lineal. También estoy seguro de cómo resolver b) y c). Gracias por cualquier ayuda que puede ofrecer!

Answer 1

(A) la comprobación de la linealidad, utilice sólo que las integrales son lineales: $$ T(cf+g)(x) = \int K(x,y)(cf(y)+g(y))\ dy = \cdots $$

(b) Para comprobar la continuidad en el uniforme de la topología, tomar una secuencia de funciones de $f_n$ que convergen a $f$ en el sup norma. A continuación, considere la posibilidad de $$\|Tf_n - Tf\|_\infty = \sup_x\bigg(\int K(x,y)f_n(y)\ dy - \int K(x,y)f(y)\ dy\bigg).$$ Can you see how to use convergence of $f_n\f$ en el sup norma para mostrar la continuidad?

(c) Hay varias formas de atacar este. Es una manera de construir una secuencia de operadores de Fredholm convergentes a $T$ en el operador de la norma. Hay un montón de pruebas por ahí el uso de este método; google "de Hilbert-Schmidt operadores compactos" para algunos de ellos. (La esencia es la aproximación de $K$ por funciones simples.) Otra forma es directamente muestran que mediante la exhibición de Cauchy subsecuencias de imágenes de secuencias en la unidad de la bola.