Distancia mínima para las rotaciones irracionales en el círculo

Question

Es bien sabido que para $\alpha$ irracional que $\langle n\alpha\rangle$ es denso en el círculo unitario. Quiero saber cuál es el resultado para calcular $a_n=\min_{1\le N \le n} |\langle N \alpha\rangle|$ .

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La descomposición exacta de $a_N$ depende en gran medida de las propiedades diofánticas de $\alpha$ y, en particular, sobre su continua expansión fraccionaria. En general $a_N<\frac{1}{N}$ como señala Michael Hardy; podemos escribirlo como $\limsup(Na_N)<1$ . Esto es una consecuencia del principio de encasillamiento y se conoce como teorema de Dirichlet en aproximación diofantina.

Para irracionales algebraicos $\alpha$ el teorema de Roth nos dice que para cada $\epsilon>0$ y cualquier $N>N(\epsilon,\alpha)$ , $$a_N > C_\epsilon N^{-1-\epsilon}.$$

Números para los que $\liminf(Na_N)>0$ se denominan mal aproximables. Se sabe mucho sobre estos números, pero también quedan abiertas muchas preguntas sobre ellos. Son incontables en número. Los números que no son muy aproximables, es decir, que decaen más rápido que $1/N$ a infinitas escalas, también son incontables y forman un conjunto de medidas completo en $\mathbb{R}$ .

Luego hay números para los que $a_N$ no sólo decae mucho más rápido que $1/N$ pero el decaimiento puede ser incluso exponencial para infinitas $N$ . Por el teorema de Roth, todos estos números son trascendentes. Es instructivo intentar construir un número así; la respuesta se puede encontrar en Mathoverflow con un poco de google.

Para más información sobre estas cosas consulte cualquier libro sobre Aproximación Diofantina; buenas fuentes son el libro de W.M. Schmidt y Kuipers y Niederreiter (Distribución uniforme de secuencias).

Answer 1

La descomposición exacta de $a_N$ depende en gran medida de las propiedades diofánticas de $\alpha$ y, en particular, sobre su continua expansión fraccionaria. En general $a_N<\frac{1}{N}$ como señala Michael Hardy; podemos escribirlo como $\limsup(Na_N)<1$ . Esto es una consecuencia del principio de encasillamiento y se conoce como teorema de Dirichlet en aproximación diofantina.

Para irracionales algebraicos $\alpha$ el teorema de Roth nos dice que para cada $\epsilon>0$ y cualquier $N>N(\epsilon,\alpha)$ , $$a_N > C_\epsilon N^{-1-\epsilon}.$$

Números para los que $\liminf(Na_N)>0$ se denominan mal aproximables. Se sabe mucho sobre estos números, pero también quedan abiertas muchas preguntas sobre ellos. Son números incontables. Los números que no son muy aproximables, es decir, que decaen más rápido que $1/N$ a infinitas escalas, también son incontables y forman un conjunto de medidas completo en $\mathbb{R}$ .

Luego hay números para los que $a_N$ no sólo decae mucho más rápido que $1/N$ pero el decaimiento puede ser incluso exponencial para infinitas $N$ . Por el teorema de Roth, todos estos números son trascendentes. Es instructivo intentar construir un número así; la respuesta se puede encontrar en Mathoverflow con un poco de google.

Para más información sobre estas cosas consulte cualquier libro sobre Aproximación Diofantina; buenas fuentes son el libro de W.M. Schmidt y Kuipers y Niederreiter (Distribución uniforme de secuencias).

Answer 2

Tomaré $\langle \beta\rangle$ la parte fraccionaria de $\beta$ e interpretaré el valor absoluto en $\mathbb R\bmod 1$ de tal manera que, por ejemplo, $|0.9|=0.1$ desde $0.9$ difiere de $1\equiv 0\bmod 1$ por $0.1$ .

Aviso de desencadenante: Utilizaré la misma notación para tres cosas diferentes:

• Para $x\in\mathbb R\bmod 1$ , $|x|$ significará el valor absoluto de $x$ como se ha descrito anteriormente.
• Para $J$ un intervalo en $\mathbb R\bmod 1$ , $|J|$ significará la longitud de $J$ .
• Para conjuntos finitos $A$ , $|A|$ significará la cardinalidad de $A$ .

Según la teorema de la equidistribución para cada intervalo $J\subseteq \mathbb R\bmod 1$ , $$ \lim_{n\to\infty} \frac {|\{\langle k\alpha\rangle : k\in\{1,\ldots,n\}\} \cap J| } n = |J|. $$ Por lo tanto, para cada $\varepsilon>0$ , $$ \lim_{n\to\infty} \frac {|\{\langle k\alpha\rangle : k\in\{1,\ldots,n\}\} \cap (-\varepsilon,\varepsilon)| } n = 2\varepsilon. $$

. . y ahora haré algunos comentarios a mano alzada sugiriendo una dirección en la que ir a buscar la solución de este problema: Intentar demostrar que como $n$ crece, la distancia entre puntos vecinos de la secuencia a largo plazo se aproxima a $1/n$ por lo que la distancia desde $0$ al punto más cercano de la secuencia se comporta como $1/n$ .