Definición de punto racimo

Question

Estoy estudiando si el libro Multidimensional de Análisis Real por Duistermaat y la definición de clúster punto es:

Un punto de $a \in \mathbb{R}^n$ se dice que es un clúster punto de un subconjunto $A$ si para cada a $\delta >0$ tenemos $B(a; \delta) \cap A \neq \emptyset$ donde $B(a; \delta) = \{x \in \mathbb{R}^n \;|\; ||x-a||<\delta\}$

Pero en muchos otros libros y en internet dice que:

Un punto de $a \in \mathbb{R}^n$ se dice que es un clúster punto de un subconjunto $A$ si para cada a $\delta >0$ tenemos $(B(a; \delta)-{a}) \cap A \neq \emptyset$ donde $B(a; \delta) = \{x \in \mathbb{R}^n \;|\; ||x-a||<\delta\}$

Es fácil ver que no es equivalente definiciones. Por ejemplo, por la primera definición, el punto de $0$ es un clúster punto de la serie $S = \{0\}\cup[1,2]$, pero no por la segunda.

La definición es la habitual?

Answer 1

De hecho, las definiciones no son equivalentes. Siempre vi los términos punto de acumulación (o punto límite ) y la adherencia punto de esas definiciones, respectivamente. En términos simples, es un punto adherente al conjunto si es un punto límite que no es aislado. Mi enfoque sería seguir la definición que utiliza cada libro específico.