¿Es un entramado completo de cadenas?

Question

Si todas las cadenas de un entramado son completas (tomamos el conjunto vacío como una cadena), ¿significa eso que el entramado es completo? En caso afirmativo, ¿por qué?

Mi intuición me dice que sí, y el razonamiento es que deberíamos poder definir de alguna manera que un sumo de cualquier subconjunto de la red sea el mismo que el sumo de alguna cadena relacionada con esa red, pero no he podido avanzar más en lo mismo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Si $L$ no es completo, tiene un subconjunto sin unión; entre tales subconjuntos, dejemos que $A$ sea uno de cardinalidad mínima, digamos $A=\{a_\xi:\xi<\kappa\}$ para algún cardenal $\kappa$ . Para cada $\eta<\kappa$ dejar $A_\eta=\{a_\xi:\xi\le\eta\}$ ; $|A_\eta|<\kappa$ Así que $A_\eta$ tiene una unión $b_\eta$ . Claramente $b_\xi\le b_\eta$ siempre que $\xi\le\eta<\kappa$ Así que $\{b_\xi:\xi<\kappa\}$ es una cadena; de hecho, con un poco más de argumentación podemos suponer que la cadena es una cadena estrictamente creciente $\kappa$ -secuencia. Ahora dejemos que $b=\bigvee_{\xi<\kappa}b_\xi$ y demostrar que $b=\bigvee A$ para obtener una contradicción.