¿Es un grupo finito siempre un producto element-wise de subgrupos de Sylow?

Question

Que $G $ ser un grupo finito, y que $ p_1, \ldots, p_n $ ser el primes distintos dividiendo $|G|$. Cada $i $, que $ P_i $ sea un Sylow $ p_i $-subgrupo de $ G $. Me parece recordar un teorema diciendo $ G=P_1\cdots P_n $. ¿Es esto cierto? Es inmediato a través de un simple argumento de conteo cuando $ n=2$, pero no hemos sido capaces de comprobar/refutar el caso general.

Answer 1

Creo que no existe tal conjunto de Sylow $p$-subgrupos por el simple grupo de pedido 360. Voy a tratar de escribir un no-computacional de la prueba, pero yo sólo le pedí BRECHA a tratar todos los triples de Sylow $p$-subgrupos.

---

Los cálculos hasta ahora: Hay dos $G$-clases de $HK$ $H$ un Sylow $3$-subgrupo y $K$ un Sylow $5$-subgrupo (esto se puede hacer a mano).

Como Avi preocupado, $P \cap HK$ puede tener un tamaño mayor que 1 (sólo tamaño de 1 o 2 son posibles en este grupo). Incluso si $HK$ no es un subgrupo, $|P \cap HK| > 1$ $PHK \neq G$ por la cardinalidad de consideraciones. Como un ejemplo,$P=\langle (3,4)(5,6), (3,6)(4,5), (1,2)(3,4) \rangle$, $H=\langle (1,2,3), (4,5,6) \rangle$, $K=\langle (2,5,3,6,4) \rangle$.

Más precisamente, tenemos $xhk = x' h'k'$ fib $hk (h'k')^{-1} = x^{-1} x' \in P \cap (HK)(HK)^{-1} = P \cap HKH$. Por lo tanto sólo tenemos que calcular todos los posibles $HKH$ y, a continuación, sus intersecciones con un Sylow $2$-subgrupo $P$.

No veo una suave manera de hacer esto, sin embargo, de nuevo hay sólo dos $G$-clases de $HKH$, y para cada clase de bien tenemos $|P \cap HKH|=3$ o $|P \cap HKH|=4$ (si la atención: dependiendo de la Sylow $2$-subgrupo $P$, pero no en el Sylow $3$-subgrupo $H$ o el Sylow $5$-subgrupo $K$, lo cual es un poco raro). En particular, $|PHK|<360$ (y si le importa, $|PHK| \in \{ 240, 280 \}$).

Yo no veo ninguna no computacionales manera de manejar $P\cap HKH$, pero ahora he triple para comprobar los cálculos, así que estoy bastante seguro.

Answer 2

Teniendo en cuenta los subgrupos $H,K\leq G$, la cardinalidad de $HK$ (si es un subgrupo o no) es $$\frac{|H||K|}{|H\cap K|}.$$ Therefore, by induction, $|P_1\cdots P_n | = | G | $.

EDIT: Esto es incorrecto. Consulte a continuación.