¿Cuáles son los valores singulares de una matriz cuadrada ortogonal de $n \times n$? ¿Cómo sabemos que el conjunto de todas las matrices ortogonales es convexo? ¿Hay un ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
SVD de la matriz $A$ $A = U \Sigma V^T$ donde $U$ $V$ son ortogonales y $\Sigma$ es no negativa real de la diagonal.
Ahora, vamos a $X$ ser ortogonales. Tenga en cuenta que $X = U \Sigma V^T$ donde $U := X$ es ortogonal, $\Sigma := {\rm I}$ es diagonal, y $V := {\rm I}$ es ortogonal. Así, los valores propios son todos iguales a $1$.
O bien, puede utilizar la definición por el cual los valores singulares de a $X$ son los absolutos de las raíces cuadradas de los valores propios de a $X^TX$. En el caso de una ortogonal $X$, los autovalores de a $X^T X = {\rm I}$ son todos iguales a uno, por lo que los valores singulares de a $X$ son todos iguales a $1$.
En cuanto a tu segunda pregunta, no creo que la afirmación es verdadera. Vamos
$$X = {\rm I} = \begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} & 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$
Si el conjunto de la matriz ortogonal es convexa, entonces $Z := \frac{1}{2}(X+Y)$ también es ortogonal. Pero,
$$Z = \frac{1}{2}(X+Y) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$
es singular, por lo que no puede ser ortogonales. Incluso podemos comprobar directamente: $Z^T Z = Z \ne {\rm I}$.
Usted puede encontrar un tema en el casco convexo de un conjunto ortogonal de matrices de aquí.
