¿Qué hechos sobre la topología débil fallan en espacios que no son de Banach?

Question

Estoy aprendiendo sobre las topologías débil y débil* en un espacio vectorial normado siguiendo el libro de Brezis. Él limita su discusión al caso en que $E$ es un espacio de Banach, y mi pregunta es más sencilla: "¿Por qué?". No puedo encontrar un ejemplo de un teorema en el que la completitud de $E$ es una hipótesis necesaria. La mayor parte de los resultados básicos sobre topologías débiles y débiles* proceden de aplicaciones de Hahn-Banach, que son válidas para una clase de espacios mucho más amplia que los espacios de Banach.

¿Existen ejemplos de hechos razonablemente elementales (es decir, de relevancia para un estudiante de primer año de posgrado que no prevé tener un fuerte contacto con el análisis funcional en el futuro) sobre topologías débiles o débiles* que sean ciertos para los espacios de Banach pero no para todos los espacios vectoriales normados?

EDIT: Debo añadir que, como señala Yemon Choi, los espacios duales de los espacios vectoriales normados son completos, por lo que la topología de estrella débil nunca se definirá en un espacio que no sea de Banach. Con respecto a la topología de estrella débil, entonces, mi pregunta debería referirse a los aspectos de la topología de estrella débil en un espacio $E^*$ donde el original $E$ no es Banach.

Answer 1

No sé si la propiedad que comento es avanzada para el estudiante de primer año. Este ejemplo muestra que los débiles $^*$ la limitación en $X^*$ implican una delimitación uniforme siempre que $X$ es completa (véase principio de delimitación uniforme ). Pero esto no es cierto en general

Considere el espacio $c_{00}(\mathbb{N})$ de secuencias finitamente soportadas con norma uniforme. Este no es un espacio completo, y su terminación es $c_0(\mathbb{N})$ . Consideremos la familia de funcionales $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ definido por la igualdad $$ f_n :c_{00}(\mathbb{N})\to\mathbb{C}:x\mapsto\sum\limits_{k=0}^nkx(k) $$ Es fácil comprobar que

Cada función $f_n$ está acotado y $\Vert f_n\Vert=\frac{1}{2}n(n+1)$ . Por lo tanto, $$ \sup\{f_n:n\in\mathbb{N}\}=+\infty $$

Para cada $x\in c_{00}(\mathbb{N})$ la suma $\sum\limits_{k=0}^\infty k|x(k)|$ es finito. Por lo tanto, podemos obtener $$ \sup\{|f_n(x)|:n\in\mathbb{N}\}\leq\sum\limits_{k=0}^\infty k|x(k)|<\infty $$ Así, construimos una familia de operadores lineales acotados (en particular - funcionales) que están acotados puntualmente pero no uniformemente. La razón de ser de dicha familia es que nuestro espacio $c_{00}(\mathbb{N})$ no está completa.

Por otro lado, el principio de acotación uniforme garantiza la acotación de cualquier familia de funcionales en $X^*$ siempre que el espacio $X$ está completo.