¿Por qué no importan los límites de integración cuando se diferencian ambos lados de una ecuación?

Question

Alguien preguntó esta pregunta: y me interesa mucho la respuesta, pero no la entiendo y no tengo suficiente reputación para comentarla directamente.

La pregunta es si puedes resolver algo como: $$ g(x) = \int_a^b f(x) \,dx$$ diferenciando ambos lados, y luego diciendo $$g'(x) = f(x)$$ .

El contestador dice que se puede ignorar el $a$ y $b$ límites en la integral definida. Esto es muy conveniente, pero no entiendo por qué. $\int_a^b f(x) \,dx$ es seguramente diferente de $\int_a^c f(x) \,dx$ , donde $b \neq c$ .

¿Puede alguien ayudarme a entender la intuición que hay detrás de esto?

Answer 1

Cuando se diferencian ambos lados de $$g(x) = \int_a^b f(x) \,dx$$ se obtiene $$g'(x)=0$$ porque $$\int_a^b f(x) \,dx$$ es un número . En la otra pregunta, la variable dentro de la integral es $\tau$ (tau), no $t$ El variable utilizado como uno de los límites de integración. Tenga en cuenta que en el teorema fundamental del cálculo , $$F(x) = \int_a^x f(t) \,dt\,$$ así que $x$ el límite superior de la integral, es el entrada a la función $F$ y $x$ es la variable contra la que diferenciamos.

Answer 2

Podría ayudar a señalar que, si su ecuación es $$f(x) = \int_x^b g(t) dt$$ entonces $f'(x) = - g(x)$ . Así que los límites ciertamente importan. (Reto: si $f(x) = \int_x^{2x} g(t) dt$ ¿Qué es? $f'(x)$ ?)