% De matrices $B$que conmuten con la matriz de cada trayecto con $A$

Question

Ha habido muchas preguntas en el sentido de éste, pero no puedo encontrar uno que responda específicamente.

Supongamos que $A,B\in M_n(\mathbb C)$ son dos matrices tales que, para cualquier otra matriz $C\in M_n(\mathbb C)$, $$AC=CA\implies BC=CB.$$ Prove that $B = p (A)$ for a polynomial $p\in\mathbb C [t]$.

Nada se asume acerca de $A$ ser diagonalisable o tener distintos valores propios o ser inversible.

Edit: después de más trabajo, esto no realmente sea verdadero. Si no es así, un contraejemplo sería genial.

Answer 1

Referencia: Lagerstrom, Paco, una Prueba de Un Teorema sobre la propiedad Conmutativa Matrices, Boletín de la AMS, Volumen 51 (1945), 535-536.

Esto es válido para cualquier campo de $\mathbb{F}$.

Deje $M^A$ el valor del $\mathbb{F}[x]$-módulo de estructura en $\mathbb{F}^n$. Hacemos uso racional de la forma canónica invariante en el factor de forma. Entonces tenemos $$M^A \simeq \mathbb{F}[x]/P_1 \oplus\cdots \oplus \mathbb{F}[x]/P_r,$$ donde $P_i=(p_i)$, $p_i|p_{i+1}$. Esto le da subespacio invariante de descomposición, $$M^A =\bigoplus_{i=1}^r M_i,$$ donde $M_i\simeq \mathbb{F}[x]/P_i$.

Deje $\pi_i:M^A\longrightarrow M_i$ ser la proyección, y $\pi_{ij}:M_i\longrightarrow M_j$ ser la natural proyección para $i>j$. Extender $\pi_{ij}$ linealmente a $M^A$ mediante la asignación de 0 en todos los $M_k(k\neq i)$. A continuación, todos los $\pi_i$ $\pi_{ij}$ conmuta con $A$, lo que conmutan con a $B$. Por lo tanto, cada una de las $M_i$ $A$- invariante, por lo tanto también es $B$-invariante. Deje $e_i\in M_i$ a ser el elemento correspondiente a $1+P_i\in\mathbb{F}[x]/P_i$. Vemos que no es $p(x)\in\mathbb{F}[x]$ tal que $Be_r=p(A)e_r$. Pretendemos que $Be_i=p(A)e_i$ todos los $i<r$, y, por tanto,$B=p(A)$. $$Be_i=B\pi_{ri}e_r=\pi_{ri}Be_r=\pi_{ri}p(a)e_r=p(a)\pi_{ri}e_r=p(a)e_i.$$ Esto completa la prueba.