Subconjunto compacto en el colimio de los espacios

Question

Encontré al principio del libro de Tom Dieck el siguiente resultado (no probado)

Supongamos que $X$ es el colimito de la secuencia $$ X_1 \subset X_2 \subset X_3 \subset \cdots $$ Supongamos que los puntos en $X_i$ están cerrados. Entonces cada subconjunto compacto $K$ de $X$ está contenida en algunos $X_k$

Ahora realmente no sé cómo probar este hecho. La idea sería encontrar una cubierta abierta adecuada para él y después de tomar una subcubierta finita tratando de reclamar que $K$ se encuentra en uno de los $X_k$ . Soy capaz de hacer este razonamiento en algunos casos más específicos, donde tengo más control sobre cómo se ven los subconjuntos abiertos, pero en esta completa generalidad no veo qué cubierta abierta puedo tomar.

Mi intento: La única idea o enfoque que puedo preparar hasta ahora es tratar de usar algún tipo de secuencia de puntos $x_n \in K \cap X_n \setminus X_{n-1}$ que se puede suponer que existe por absurdo. Siendo $K$ compacto, debe haber un punto de acumulación $k \in K$ . Claramente $k \in X_k$ (poco abuso de la notación aquí) y para cada barrio de $k$ hay un cola de esta secuencia totalmente contenida en ella. Ahora todo parece reducirse para encontrar el nbhd correcto para encontrar el contraejemplo. Parece factible, pero no tengo ninguna idea de cómo elegirlo, porque los únicos abiertos que tengo con seguridad son los complementos de puntos, pero parecen un poco grueso para lo que quiero hacer.

Como nota al margen, May afirma en la página $67$ de su "Curso Conciso (revisado)" que este resultado vale para cualquier espacio basado. La prueba parece utilizar el resultado anterior sin la suposición de T1. ¿Cómo se puede probar este resultado en tales generalidades? (no se dieron detalles, sólo la idea aproximada.

Answer 1

Como sugieres, elige una secuencia de puntos $x_n \in K \cap X_n \setminus X_{n-1}$ (posiblemente reemplazando $(X_n)$ con posterioridad). Que $A=\{x_n\}$ . Entonces si $B \subseteq A$ Entonces $B \cap X_n$ es finito para cada uno $n$ así que como los puntos están cerrados en $X_n$ , $B \cap X_n$ está cerrado en $X_n$ . Desde $X$ es el colimito, esto significa $B$ está cerrado en $X$ . En particular, $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ y cada subconjunto de $A$ está cerrado, por lo que tiene una topología discreta. Pero un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, y un espacio discreto compacto debe ser finito. Esto es una contradicción.

Sin ninguna hipótesis sobre los puntos que se cierran, el resultado definitivamente no es cierto. Por ejemplo, dejemos $X= \mathbb {N}$ topologizado al decir que los juegos $\{n:n \geq m\}$ están abiertas para cada uno $m \in\mathbb {N}$ . Luego $X$ es el colimito de los subespacios $X_n=\{0, \dots ,n-1\}$ pero $X$ en sí mismo es compacto. Sin embargo, creo que en el libro de May todos los "espacios" se asumen como compactos generados por el débil Hausdorff, lo que implica que los puntos están cerrados.

(Obsérvese que si $X$ es un colimito de una secuencia de mapas que no son necesariamente inyectables, la hipótesis que se necesita no es que los puntos estén cerrados en cada $X_n$ pero que los puntos están cerrados en $X$ ; ver esta respuesta de la mía en el modus operandi. Recuerdo que cuando escribí esa respuesta se me ocurrió un contraejemplo donde los puntos se cierran en cada $X_n$ pero no recuerdo los detalles en este momento.)