Derivado del tiempo de flujo

Question

Tenemos un tiempo y hasta "posición" campo invariante vectorial y una superficie. ¿Si la superficie se mueve con velocidad constante, es que el flujo a través de la superficie debe constante en el tiempo? Además, hay una sencilla prueba para la fórmula $$\frac{d}{dt} \iint_{S(t)}\overline{V}(\overline{r},t) \cdot d\overline{A}

Answer 1

Aquí es una prueba, aunque no estoy seguro de que es fácil de seguir.

En la siguiente derivación, vamos a utilizar el adjetivo "bonito" para nada lo suficientemente regular para hacer que el argumento de las obras. Si no me equivoco, continua diferenciable hasta el segundo orden es suficiente.

Vamos

• $\vec{v}(\vec{x},t)$ ser un "buen" campo de velocidad.
• $\vec{B}(\vec{x},t)$ ser un "buen" campo de vectores que queremos calcular el flujo.
• $S$ ser un equipo compacto "agradable" de la superficie con funciones definidas a trozos "agradable" el límite en la $\mathbb{R}^3$.

• $S(t)$ ser una familia de superficies generadas por $S$ con el campo de velocidad $\vec{v}$.
  Más precisamente, para cada una de las $\vec{x} \in S$, considere el problema de valor inicial: $$\frac{d}{dt} \gamma_{\vec{x}}(t) = \vec{v}(t,\gamma_{\vec{x}}(t)),\quad t \(- \epsilon, \epsilon ) \quad\text{ con condición inicial }\quad \gamma_{\vec{x}}(0) = \vec{x}.$$ Definir una función $$\Gamma : S \times (-\epsilon, \epsilon ) \quad\mapsto\quad \Gamma(\vec{x},t) = \gamma_{\vec{x}}(t)\in\mathbb{R}^3$$ Estándar de la teoría de la educación a distancia decirnos $\Gamma$ es un "buen" función (al menos para lo suficientemente pequeño $\epsilon$).

  $S(t)$ es simplemente la imagen de $\Gamma(S \times \{t\})$. Como un objeto geométrico, no estoy seguro al 100% de $S(t)$ es "agradable".
  Por el bien de obtener un resultado, vamos a suponer que son.

El número que queremos calcular es la siguiente vez derivado $$\mathscr{F}_{t} = \frac{d}{dt}\int_{S(t)} \vec{B}\cdot d\vec{A}$$ donde $d\vec{A}$ es el área del elemento asociado con $S(t)$. Para llevar a cabo el cálculo, supongamos $S$ es lo suficientemente pequeño como para caber en una sola coordinar gráfico $$\varphi : \mathbb{R}^2 \supset \mathcal{O} \ni (r,s) \quad\mapsto\quad \varphi(r,s) \in S \subset \mathbb{R^3}$$ Nosotros, además, asumir el dominio $\mathcal{O}$ a trozos "agradable" límite de${}^{\color{blue}{[1]}}$. El uso de $\Gamma$, se puede extender a una función

$$\vec{X} : \mathcal{S} \times (-\epsilon, \epsilon ) \ni (r, s, t) \quad\mapsto\quad \vec{X}(r,s,t) = \Gamma(\varphi(r,s),t)$$

Para cualquier función (o expresión) $\psi$ que depende del $(r,s,t)$, vamos a adoptar la taquigrafía $$\psi_r = \frac{\partial\psi}{\partial r},\quad \psi_s = \frac{\partial\psi}{\partial s},\quad\text{ y }\quad \psi_t = \frac{\partial\psi}{\partial t}$$

En términos de $\vec{X}$, el área del elemento $d\vec{A}$ es simplemente $\vec{X}_r \times \vec{X}_s dr ds$ y

$$\begin{align} \mathcal{F}_t &= \frac{d}{dt} \int_{\mathcal{O}} \vec{B}\cdot (\vec{X}_r \times \vec{X}_s) dr ds\\ &= \int_{\mathcal{O}}\left[ \frac{d\vec{B}}{dt} \cdot (\vec{X}_r \times \vec{X}_s) + \vec{B} \cdot \left( (\vec{X}_r)_t \times \vec{X}_s + \vec{X}_r \times (\vec{X}_s)_t \right) \right] dr ds\\ &= \int_{\mathcal{O}}\left[ \left(\vec{B}_t + \color{firebrick}{(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}}\right) \cdot \color{firebrick}{(\vec{X}_r \times \vec{X}_s)} + \vec{B} \cdot\left( \vec{v}_r \times \vec{X}_s + \vec{X}_r \times \vec{v}_s\right) \right] dr ds \end{align}$$ Aviso el segundo término en el integrando $$\vec{B} \cdot\left( \vec{v}_r \times \vec{X}_s + \vec{X}_r \times \vec{v}_s\right) = \vec{B} \cdot \left( ( \vec{v} \times \vec{X}_s)_r - ( \vec{v} \times \vec{X}_r)_s \right)$$ puede escribirse como $$( \vec{B}\cdot( \vec{v} \times \vec{X}_s) )_r - ( \vec{B}\cdot( \vec{v} \times \vec{X}_r) )_s + \color{red}{((\vec{X}_r\cdot\vec{\nabla})B) \cdot (\vec{X}_s \times \vec{v})} + \color{red}{((\vec{X}_s\cdot\vec{\nabla})B) \cdot (\vec{v}\times\vec{X}_r)}$$ Ahora para cualquier cinco vectores $\vec{a},\vec{b},\vec{c}, \vec{p}, \vec{q} \in \mathbb{R}^3$, tenemos una identidad${}^{\color{blue}{[2]}}$: $$(\vec{p}\cdot\vec{p})(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})) = (\vec{p}\cdot\vec{a})(\vec{p}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})) + (\vec{p}\cdot\vec{b})(\vec{p}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})) + (\vec{p}\cdot\vec{c})(\vec{p}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}))$$ $\vec{\nabla} \otimes \vec{B}$ es un tensor de rango 2, se puede descomponer como suma de exterior producto de vectores $$\vec{\nabla} \otimes \vec{B} = \vec{p}_1 \otimes \vec{q}_1 + \vec{p}_2 \otimes \vec{q}_2 + \cdots$$ Si sustituimos $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ arriba de identidad por $\vec{v}$, $\vec{X}_r$ y $\vec{X}_s$ respectivamente, no es difícil deducir:

$$\color{ladrillo refractario}{((\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}) \cdot (\vec{X}_r \times \vec{X}_s)} + \color{red}{((\vec{X}_r\cdot\vec{\nabla})B) \cdot (\vec{X}_s \times \vec{v}) + ((\vec{X}_s\cdot\vec{\nabla})B) \cdot (\vec{v}\times\vec{X}_r)} = \color{verde}{( \vec{\nabla}\cdot \vec{B}) (\vec{v}\cdot(\vec{X}_r \times \vec{X}_s)}.$$ Sustituir este de nuevo en el integrando para $\mathcal{F}_t$, obtenemos

$$\mathcal{F}_t = \int_{\mathcal{S}} \left[ \left((\vec{B}_t + \color{verde}{(\vec{\nabla}\cdot \vec{B}) \vec{v}} )\cdot \color{verde}{( \vec{X}_r \times \vec{X}_s )}\right)_{\color{blue}{\verb/I/}} + \left( ( \vec{B}\cdot( \vec{v} \times \vec{X}_s) )_r - ( \vec{B}\cdot( \vec{v} \times \vec{X}_r) )_s \right)_{\color{blue}{\verb/II/}} \right] dr ds\\ $$ El integrando se dividió en dos piezas. Es obvio qué Pedazo $\color{blue}{\verb/I/}$ es. Para la pieza de la $\color{blue}{\verb/II/}$, se puede transformar primero a una integral de línea a lo largo de $\partial\mathcal{O}$ a través del clásico Verde del teorema de la $\mathbb{R}^2$. Luego nos vuelven a expresar como una integral de línea a lo largo de $\partial S(t)$$\mathbb{R}^3$. Por último, hemos de volver a convertir una superficie integral sobre la $S(t)$ el uso de Kevin-teorema de Stokes:

$$\begin{align} \text{Piece }\color{blue}{\verb/I/} &= \int_{S(t)}\left( \vec{B}_t + (\vec{\nabla}\cdot\vec{B})\vec{v}\right)\cdot d\vec{A}\\ \\ \text{Piece }\color{blue}{\verb/II/} &= \int_{\partial S(t)} ( \vec{B}\times\vec{v} ) \cdot d\vec{X} =\int_{S(t)} \vec{\nabla} \times (\vec{B} \times \vec{v}) \cdot d\vec{A} \end{align}$$ Combine esto, obtenemos

$$\mathcal{F}_t = \int_{S(t)} \left( \vec{B}_t + (\vec{\nabla}\cdot\vec{B})\vec{v} - \vec{\nabla} \times (\vec{v} \times \vec{B})\right)\cdot d\vec{A}\etiqueta{*1}$$

Al $S$ es demasiado grande para caber en un solo gráfico de coordenadas, podemos dividir $S$ en una cantidad finita piezas que encajan. A continuación, aplicamos $(*1)$ a la pieza individual y la suma de sus contribuciones. Al final, $(*1)$ continúan trabajando...

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ $\partial\mathcal{O}$ deben ser lo suficientemente bueno para aplicar la clásica Verde del teorema.
• $\color{blue}{[2]}$ Al $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son lineales independientes, constituyen una base de $\mathbb{R}^3$. La corresponden base dual consta de $\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{\Delta}$, $\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{\Delta}$, y $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\Delta}$ donde $\Delta = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$. La identidad en el texto principal no es nada especial, pero la fórmula del producto escalar para este par en particular de la base dual de la base.

Answer 2

${\color{#66f}{\large\tt\mbox{This is from $\tt\color{#c00000}{G\ & R} $ Table,}\ 7^{\rm\underline{a}}\ \mbox{ed.}}}$