El programa Langlands para principiantes

Question

Suponiendo que una persona haya tomado cursos de matemáticas estándar (álgebra, análisis, topología de conjuntos de puntos), ¿qué otras cosas debe saber una persona para poder entender el programa de Langlands y su análogo geométrico?

¿Cuáles son los buenos libros para aprender estos temas?

¿Existe algún libro que pueda explicar el programa de Langlands a un estudiante universitario con muy pocos requisitos previos?

Answer 1

Voy a contradecir las respuestas dadas y decir: no leas ninguna introducción al programa Langlands en esta etapa. En su lugar, aprende primero las siguientes cosas (¡y tómate tu tiempo con ellas!) y haz muchos ejercicios:

• Teoría de la representación compleja de grupos finitos, teoría de los caracteres (por ejemplo, el libro de Isaacs, o mis notas de clase )
• Teoría algebraica de los números, empezando por la teoría básica de los campos de números, los dominios de Dedekind, los números de clase, y llegando a la teoría de los campos de clase (eso es un proyecto para al menos un año, puedes empezar con cualquier libro de introducción a la teoría de Galois, y luego pasar a un libro de introducción a la teoría algebraica de los números)
• Algunos conceptos básicos sobre grupos algebraicos y grupos de Lie. Sospecho que primero tendrás que aprender algunas cosas muy básicas sobre los colectores y sobre las variedades.
• Un curso de introducción a las formas modulares.

Cuando tengas eso cubierto (dentro de dos o tres años), entonces te vendrá bien leer sobre el programa de Langlands. Mientras tanto, una vez que hayas aprendido la teoría de la representación y la teoría de Galois (puede hacerse en uno o dos meses si eres muy brillante), deberías acercarte a un miembro de la facultad de tu universidad. Él o ella podrá darte una visión muy aproximada de la filosofía general de Langlands, para que sepas a grandes rasgos hacia dónde te diriges.

Todo esto no pretende desanimarle, sino entusiasmarle con todo lo fascinante que le espera, y advertirle de que no se salte nada de lo esencial si realmente quiere apreciar la belleza de todo el edificio.

Answer 2

No creo que el programa de Langlands sea accesible para el estudiante universitario medio. En particular, no entenderás nada si no tienes conocimientos previos de teoría algebraica de números (y teoría de campos de clases). Pero, una vez superados los requisitos expuestos en la respuesta de Alex B (y en este documento ), aquí tiene una lista de referencias interesantes:

1. Secundo tanto la opinión de Gelbart Introducción al programa Langlands y el libro Introducción al programa Langlands .
2. Más avanzado es el documento de Knapp llamado Introducción el programa Langlands (sí, otro más), en las Actas de Edimburgo.
3. De hecho, hay toda una página web llena de diferentes recursos relacionados con las formas automórficas, las representaciones automórficas y el programa de Langlands. Puede encontrarlo aquí.

Pero, de nuevo, recuerda esto: Uno no se limita a aprender en qué consiste el programa de Langlands.

Answer 3

Para empezar, consulte este documento:

http://www.ams.org/journals/bull/1984-10-02/S0273-0979-1984-15237-6/home.html

Es un buen artículo sobre el programa de Langland. Te lleva a través de la perspectiva histórica a la reciprocidad de Artin y sus implicaciones. Si lo lees tendrás una buena visión general de lo que necesitas saber: teoría de campos de clases, funciones L, números p-ádicos, adeles, formas automórficas y representaciones de grupos. Para entender bien este tema, consulta a Frohlich y Taylor:

http://www.amazon.com/Algebraic-Cambridge-Studies-Advanced-Mathematics/dp/052136664X

Tengo un ejemplar de este libro y en mi opinión es accesible para alguien con un buen curso de Teoría de Números y quizás dos cursos de Álgebra a nivel de grado. No creo que un estudiante de grado vaya a conseguirlo por sí mismo, pero con la orientación de un asesor que trabaje en teoría de números puede hacerlo.

Ahora no soy experto en Langlands pero (creo) el programa de Langland es una serie de conjeturas que son básicamente consecuencias y generalizaciones de la reciprocidad de Artin.

Inténtalo. El programa de Langlands es algo profundo que asumió un papel de la misma magnitud que el programa de Klein en Erlanger antes de él. Realmente no puedes equivocarte al llegar al fondo de este.

Answer 4

Peter Scholze, un joven que ha sido nombrado recientemente investigador del Instituto de Matemáticas Clay, ha escrito algunos artículos muy interesantes sobre la correspondencia de Langlands.

http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/

Si los lees, por favor comparte tu experiencia (si fue el nivel / estilo adecuado para ti).

Answer 5

Una respuesta bastante tardía, pero por si alguien encuentra esto en una búsqueda: el Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas en Berkeley ha puesto una serie de conferencias grabadas en vídeo por el Dr. Edward Frenkel en la UC Berkeley (5,5 horas de duración) de un taller que impartió en otoño de 2015 y que se grabó para su emisión por televisión en Japón. Esta introducción pretendía ser accesible a nivel de licenciatura, por lo que algunos pueden encontrarla útil.