Producto interno y producto de punto

Question

Si me equivoco el producto de punto es un ejemplo de producto interno en el espacio de coordenadas.

¿Me pregunto si fuera por un espacio arbitrario producto interno con el campo base era $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$, allí siempre existe o un sistema de coordenadas para que el producto interno se convierte en el producto de punto en coordenadas? ¿Cuál es el nombre del tema con respecto a esta pregunta?

Gracias y saludos!

Answer 1

Para finito dimensionales de los espacios, la respuesta es "sí"; esto es una consecuencia de las bacterias Gram-Schmidt orthonormalization proceso: cada finito de dimensiones interiores espacio del producto $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ tiene una base ortonormales.

Ahora vamos a $\mathbf{V}$ ser un producto interior espacio, y dejan $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ ser un ortonormales. A continuación, $T\colon\mathbf{V}\to \mathbf{F}^n$ $T\mathbf{v}_i = \mathbf{e}_i$ (es decir, $T$ se asigna a cada vector en $\mathbf{V}$ a su vector de coordenadas en relación a la base ortonormales $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$) es una transformación lineal invertible tal que para todo $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbf{V}$, $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = T\mathbf{x}\cdot T\mathbf{y}$, donde el lado derecho es la norma dot producto en $\mathbf{F}^n$ ($\mathbf{F}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$).