Encontrar Extrema de a función (sin diferenciación)

Question

$$(t^2-t+1)/(t^2+t+1)$$

demostrar que la función es superior delimitada por 3 e inferior limitada por 1/3 sin diferenciación

Answer 1

Poner $A=\dfrac{t^2-t+1}{t^2+t+1}.$ y tomar la ecuación tiene la forma $$(A-1)t^2+(1+A)t+A-1 = 0.$ $ 1) $A = 1$, la ecuación es siempre tiene solución. 2) con $A \neq 1$, la ecuación tiene solución cuando y sólo cuando$$ -3A^2+10A-3\geqslant 0$$ and then we get $\dfrac{1}{3} \leqslant un \leqslant 3.$ así, $\max A = 3$ y $\min A = \dfrac{1}{3}.$

Answer 2

Vamos a la fracción ser $f(t)$. Mira las diferencias $3-f(t)$$f(t)-\frac13$; demostrando que son no negativos para todos los $t$ muestra que $\frac13\le f(t)\le 3$ todos los $t$, y mostrando que se puede ser $0$ muestra que estos límites son los mejores posibles. Por ejemplo,

$$3-\frac{t^2-t+1}{t^2+t+1}=\frac{2t^2+4t+2}{t^2+t+1}=\frac{2(t+1)^2}{\left(t+\frac12\right)^2+\frac34}\;,$$

lo que es claramente nunca negativo y se $0$ al $t=-1$. Por lo tanto, $f(t)$ es siempre menor o igual a $3$, y es igual al $t=1$. Ahora intente el mismo tipo de cálculo de $1/3$.

Esto no muestra cómo encontrar los límites sin cálculo, pero sí se muestra cómo comprobar .