Demuestre que no hay dos enteros positivos que verifiquen esta igualdad

Question

Estoy tratando de mostrar que no hay un par de enteros estrictamente positivos$\alpha$ y$\beta$, de modo que$$180n^2+218n+66 = \alpha (30n+18) + \beta(36n+22)$ $ pero hasta ahora no he logrado hacerlo. ¿Algunas ideas?

Gracias

Answer 1

tenemos$5(36n+22)-6(30n+18)=2$, entonces tenemos$(36n+22,30n+18)=2$ y$$180n^2+218n+66=5(90n^2+109n+33)(36n+22)-6(90n^2+109n+33)(30n+18)$ $ tan$$\beta=5(90n^2+109n+33)+(15n+9)t,\alpha=-6(90n^2+109n+33)-(18n+11)t$ $ para$t=-36(36+22)$ tenemos$\alpha=0$ y puedes ver$\beta<0$ para t-1