Problema con forzar

Question

Recientemente he leído a través de Jech la prueba de la independencia de la hipótesis continua.

Sin embargo hubo algo que me molestó mucho, la idea de que el filtro genérico. Comienzo de la sección de forzar en Jech de la teoría de conjuntos, el autor declaró que Cohen enfoque original fue asumir la existencia de una contables transitiva modelo de $\mathsf{ZFC}$, y a continuación, obtener un filtro genérico con respecto a la obligando a las condiciones, entonces, el autor afirma que esto no se puede hacer ya que ese modelo de canoot se demostró que existe en la $\mathsf{ZFC}$ si $\mathsf{ZFC}$ es incoherente, más adelante indica que la forma habitual de trabajar con obligando fue postular la existencia del filtro genérico para el requirieron noción.

He encontrado Jech del enfoque muy incompleta, así que busqué en internet y vi el siguiente teorema:

Si $\Lambda\subseteq ZFC$ es finito, entonces $\mathsf{ZFC}\vdash\exists M[M \text{ is transitive}\wedge|M|=\aleph_0\wedge M\models ZC\cup \Lambda].$

Entonces me sostuvo lo siguiente:

Supongamos $\mathsf{ZFC}\vdash\mathsf{CH}$, entonces existe algún finito $\Lambda\subseteq\mathsf{ZFC}$ tal que $\Lambda\vdash\mathsf{CH}$.Deje $P$ ser la idea de forzar a tal que para cualquier genérico $G$ $P$ tenemos $M[G]\models2^{\aleph_0}\geq\aleph_2$. Deje $G$ ser genérico más de $M$; $G$ existe $M$ es contable.

La lectura de Jech la prueba de que el modelo genérico teorema podemos obtener de un número finito de $\Omega\subseteq\mathsf{ZFC}$ tal que $\Omega\supseteq\Lambda$ e si $M\models\Omega\cup\mathsf{ZC}$,$M[G]\models\Lambda\cup\mathsf{ZC}$; la extensión sólo es necesario para las diferentes instancias de la sustitución axioma en $\Lambda$. Entonces es evidente que esto es una contradicción ya que existe un contable $M$. Por lo tanto,$\mathsf{ZFC}\nvdash\mathsf{CH}$.

Es mi enfoque correcto?

Answer 1

Sí. Este enfoque funciona bien. En realidad (es decir, trabajos de investigación) las personas a menudo asumen que hay transitiva modelos de la teoría de conjuntos, si sólo por comodidad. Es más fácil de esta manera.

Otro enfoque, que es en realidad lo que Jech, y en cada libro de él que he leído hasta ahora (contando tres por ahora), es el uso de Boolean valores de los modelos de la teoría de conjuntos. Este es definible clase que es un modelo de la teoría de conjuntos donde la verdad de los valores de $0-1$, pero en lugar de tomarse de un completo álgebra Booleana. Entonces uno puede mostrar que si $\varphi$ es una declaración cuyo valor de verdad en algunos Booleano modelo de valor no es ni $0$ ni $1$, entonces no podemos demostrarlo de $\sf ZFC$.

Este método fue utilizado originalmente por Scott y Solovay para demostrar la independencia de la hipótesis continua el uso de variables aleatorias (tomando el álgebra Booleana a ser muy grande).