¿Una fórmula para el n-derivado de la inversa de una función?

Question

Que $y=f^{-1}(x)$. Como sabemos:
\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{{f}'(y)} \end {Alinee el} Thereof tenemos:
\begin{align} \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{-{f}''(y)}{({f}'(y))^3} \end {Alinee el}

\begin{align} \frac{\mathrm{d^3} y}{\mathrm{d} x^3}=\frac{3({f}''(y))^2-{f}'(y){f}'''(y)}{({f}'(y))^5} \end {Alinee el} existe una regla general para
\begin{align} \frac{\mathrm{d^n} y}{\mathrm{d} x^n}=?\end {Alinee el}

Answer 1

Una expresión es $$y^{(n)}(x_0)=\bigl((y-y_0)(\frac{y-y_0}{f(y)-x_0})^{n+1} f'(y)\bigr)^{(n)}|_{y=y_0}$$ donde $y_0=f^{-1}(x_0)$ (es una constante). Suponiendo $f$ es holomorphic, puede ser derivada a partir de los residuos teorema: $y^{(n)}(x_0)=n!/2\pi i\,\oint (y-y_0)/(x-x_0)^{n+1} dx =n!/2\pi i\,\oint ((y-y_0)/(x-x_0))^{n+1}/(y-y_0)^{n}f'\,dy$

(el teorema de los residuos se enseña como una manera de calcular las integrales en términos de los derivados, pero en algunos casos es un medio de calcular derivadas en términos de las integrales)

Por CIERTO, se hace más entretenido al $h$ es de otra función y desea encontrar la n-ésima derivada de $h(y(x))$. Suponiendo $f(0)=0$, y que se calcula en $0$ ( $x_0=y_0=0$ , obtenemos $$\bigl(h(y)(\frac{y}{f(y)})^{n+1} f'(y)\bigr)^{(n)}|_{y=0}$$ Como un ejemplo, si $h(y)=1/(1-y)$, $x=ye^{-y}$, obtenemos la serie de Taylor $$h(y)=\sum_n\frac{n^n}{n!}x^n.$$