Homeomorfismo local de la $S^2$ esfera a $R^2$

Question

Intento de resolver el siguiente ejercicio:

Demuestre mediante una proyección estereoscópica que el $S^2$ es localmente homeomorfa a $R^2$ .

He intentado resolverlo utilizando la función cotangens sobre los dos ángulos que definen la superficie de la bola por la proyección:

$\phi : S^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \ (\alpha, \beta) \mapsto \left(\cot \alpha, \cot \frac{\beta}{2}\right)$ pour $\alpha \in (0, \pi), \beta \in (0, 2\pi)$

Sin embargo, los polos y una de las líneas de conexión ( $\beta = 0$ ) no está definido por este mapa. ¿Existe algún truco para que esto no ocurra?

Answer 1

Considerando $S^2$ como los puntos $(x, y, z)$ en $\mathbb{R}^3$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ , entonces la proyección estereográfica $S^2 - \{(0,0,1)\} \to \mathbb{R}^2$ es un homeomorfismo. (Se puede comprobar directamente que la fórmula de proyección estereográfica estándar define una biyección continua con una inversa continua). Esto demuestra que todos los puntos, excepto $\{(0,0,1)\}$ tienen vecindades homeomórficas a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ . Intercambiar los papeles de $x$ y $z$ da una proyección estereográfica $S^2 - \{(1,0,0)\} \to \mathbb{R}^2$ que también es un homeomorfismo.

(Esta es una forma de obtener el resultado con sólo dos "parches" en su atlas).

Answer 2

Ahora gira la esfera 90 grados y repite con dos nuevos polos. Tienes 4 parches que muestran $\mathbb{R}^2$ es localmente homeomorfo a $S^2$ .