Dada cualquier cadena finita de números, ¿es cierto que existe un cuadrado perfecto cuyas cifras principales son la cadena

Question

Dada cualquier cadena finita de números, ¿es cierto que existe un cuadrado perfecto cuyas cifras principales son la cadena? Por ejemplo, dada la cadena 123456, ¿puedo encontrar un cuadrado perfecto con las cifras principales 123456?

Creo que la respuesta es positiva porque el número de enteros con la cadena es infinito por lo que se puede seguir aumentando el número hasta obtener un cuadrado perfecto? Agradezco todos los consejos, gracias

Answer 1

La respuesta es sí. De hecho, podemos encontrar infinitos cuadrados perfectos de este tipo. En su caso particular, $$111,111^2=12,345,654,321$$ y $$341,364^2=123,456,660,496$$

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Aquí está la prueba. Sea el número natural que sale de la cadena $a$ . Queremos encontrar números naturales $n$ , $b$ y $c$ tal que $$b^2=a\cdot 10^n+c \quad\text{where}\quad 0\le c<10^n$$

Esto hace que $b^2$ un cuadrado perfecto con los dígitos iniciales de $a$ .

Para todos $n$ dejar $d_n=\lfloor \sqrt{a\cdot 10^n} \rfloor$ donde el símbolo es la función de mayor número entero. Entonces, claramente $$d_n+1=\sqrt{a\cdot 10^n}+r \quad\text{for some real $ 0<r\le 1 $},$$ $$(d_n)^2\le a\cdot 10^n,\quad\text{and}$$ $$(d_n+1)^2> a\cdot 10^n$$

Obtenemos

$$\begin{align} (d_n+1)^2 &= (\sqrt{a\cdot 10^n} +r)^2 \\ &=a\cdot 10^n+ 2r\sqrt{a\cdot 10^n}+r^2 \end{align}$$

Podemos encontrar algunos $n$ tal que $2r\sqrt{a\cdot 10^n}+r^2<10^n$ ya que el lado derecho de esa desigualdad crece hasta el infinito más rápidamente que el lado izquierdo como $n\to+\infty$ .

Entonces elegimos que $n$ , dejemos que $b=d_n+1$ y $c=(d_n+1)^2-a\cdot 10^n$ . Eso nos da lo que queremos. De hecho, cualquier $n$ también funciona, así que hay infinitas opciones.

Utilicé esa técnica para encontrar los dos casos indicados en la parte superior de esta respuesta.

Answer 2

Existe un algoritmo bien conocido para extraer la raíz cuadrada de un número. Tratando la cadena de dígitos deseada como un número entero, se añade $1$ , y luego utilizar el algoritmo estándar de la raíz cuadrada para calcular la raíz cuadrada hasta un número suficiente de dígitos. El resultado (una raíz cuadrada aproximada) es un número decimal cuyo cuadrado es la cadena de cadena de dígitos deseada seguida de algunos otros dígitos. Multiplique esta raíz cuadrada aproximada por una potencia adecuada de $10$ para que el resultado sea un número entero. Ahora tienes un entero cuyo cuadrado comienza con la cadena de dígitos deseada.

Los detalles completos y la justificación del algoritmo pueden encontrarse en una respuesta anterior a una pregunta relacionada.