En general, una curva es esférica si y sólo si vive en una esfera - en nuestro caso, la esfera de radio $1$ y el centro de la $0$. Desde
$$\| \vec x ^* (s) \| = \left\| \frac {\vec x(s)} {f(s)} \right\| = \left\| \frac {\vec x(s)} {\| \vec x (s) \|} \right\| = \frac {\| \vec x(s) \|} {\| \vec x (s) \|} = 1 ,$$
está claro que $\vec x ^* (s)$ se encuentra en la unidad de esfera para cada $s$. (Observe que la condición de que $\Gamma$ no debe pasar a través de $0$ asegura que $f(s) \ne 0$, por lo que podemos dividir por $f(s)$.)
De pasar a la segunda parte, observe que si $\vec x ^* = \dfrac {\vec x} f$,$\vec x = f \vec x^*$, así que la derivada con respecto al $s$ da
$$\vec x ' = f' \vec x ^* + f {\vec x ^*} ' ,$$
de dónde
$$\tag {*}\| \vec x ' \| ^2 = \langle \vec x ' , \vec x '\rangle = \langle f' \vec x ^* + f {\vec x ^*} ' , f' \vec x ^* + f {\vec x ^*} '\rangle = (f')^2 \langle \vec x ^*, \vec x ^* \rangle + 2 f' f \langle \vec x ^*, {\vec x ^*} '\rangle + f^2 \langle {\vec x ^*} ', {\vec x ^*} ' \rangle .$$
Desde $\Gamma ^*$ es esférico, tenemos $\langle \vec x ^*, \vec x ^* \rangle = 1$. Pero podemos exprimir aún más de este hecho! Derivando con respecto a $s$ da
$$0 = \langle {\vec x ^*} ' , {\vec x ^*} \rangle + \langle {\vec x ^*} , {\vec x ^*} ' \rangle = 2 \langle {\vec x ^*} ' , {\vec x ^*} \rangle ,$$
de dónde $\langle {\vec x ^*} ' , {\vec x ^*} \rangle = 0$, un resultado que se conecte $(*)$.
Por último, recuerde que $\Gamma$ lleva la parametrización natural, lo que implica que $\| \vec x ' \| = 1$, sin embargo, otro hecho de que se conecte $(*)$.
Después de todas estas observaciones, entonces, la fórmula $(*)$ puede escribirse como
$$\tag {**} 1 = (f')^2 + f^2 \langle {\vec x ^*} ', {\vec x ^*} ' \rangle .$$
Las cosas son fáciles ahora. Si $\Gamma ^*$ lleva la parametrización natural, a continuación,$\| {\vec x ^*} ' \| = 1$, lo $(**)$ hace $1 = (f')^2 + f^2$. Por el contrario, si $1 = (f')^2 + f^2$, $(**)$ hace $f^2 = f^2 \langle {\vec x ^*} ', {\vec x ^*} ' \rangle$ y, desde $\Gamma$ no pasa a través de$0$,$f(s) \ne 0 \ \forall s$, por lo que podemos dividir por $f^2$, y obtener un $1 = \langle {\vec x ^*} ', {\vec x ^*} ' \rangle = \| {\vec x ^*} ' \| ^2$, de donde $\| {\vec x ^*} ' \| = 1$, mostrando que el $\Gamma ^*$ lleva la parametrización natural.
Es interesante notar que si había comenzado la prueba derivando $\vec x ^* = \dfrac {\vec x} f$, habría obtenido
$$\| {\vec x ^*} ' \| ^2 = \frac {(f') ^2} {f^4} \| x \| ^2 - 2 \frac {f'} {f^3} \langle \vec x, \vec x ' \rangle + \frac 1 {f^2} \| \vec x ' \| ^2$$
y la única cosa que podría haber hecho aquí habría sido la sustitución de $\| \vec x ' \|$ $1$ (debido a $\Gamma$ siendo naturalmente parametrizadas), y que han sido atrapados.
La cosa que se aprende a partir de aquí es que la más sencilla e intuitiva de aproximación a un problema puede obtener rápidamente que usted se pegó, mientras que una más complicada enfoque podría conducir a la solución. (Por desgracia, esto sucede casi siempre en las matemáticas, que es la razón por la labor en este campo es tan difícil.)
