$\mathbb{C}[x,y]/(f,g)$ es un anillo de artinian, si $\gcd(f,g)=1$.

Question

Este problema extiende el hecho de que $\mathbb{C}[x,y]/(x^n,y^m)$ anillo de artinian.

Que $f,g \in \mathbb{C}[x,y]$ tal que $\gcd(f,g)=1$. Muestran que $\mathbb{C}[x,y]/(f,g)$ es un anillo de artinian.

Answer 1

He descompuesto de Alex argumento en una versión clásica en caso de que usted no ha adquirido el fondo todavía.

Desde $f$ $g$ no tienen ningún factor común en $\mathbb{C}[x,y],$ vemos (por Gauss lema) que no tienen ningún factor común en $\left(\mathbb{C}(x)\right)[y].$ Este es un PID, por lo que existen funciones racionales $a(x),b(x)$ tal que $a(x) f(x,y) + b(x) g(x,y) =1.$ Compensación denominadores, tenemos $$ \tilde{a}(x) f(x,y) + \tilde{b}(x) g(x,y) = d(x)$$ for some polynomials $\tilde{a}, \tilde{b}, d.$ From this we see that any common root $(x',y')$ of $f$ and $g$ forces $d(x)$ to have $x'$ as a root. Since $d$ has only finitely many roots, the set of common roots of $f$ and $g$ has finitely many $x$ valores que aparecen en ella.

Ahora supongamos $x_1, \ldots, x_r$ es una enumeración de las $x$ valores en el conjunto de raíces comunes. Considere la función $F = \prod_{i=1}^r (x-x_i).$ Este se desvanece en $V:=\mathbf{V}(f,g),$ por Hilbert Nullstellensatz hay algunos $N$ tal que $F^N \in (f,g).$ Aislar el más alto poder de $x$ en la expansión de $F^N,$ vemos que $x^{rN}+(f,g)$ es una combinación lineal de potencias inferiores a $x^i+(f,g).$ Por inducción se sigue que todos los poderes de $x+(f,g)$ son generados por un número finito de elementos de $\dfrac{\mathbb{C}[x,y]}{(f,g)}.$

Exactamente la misma lógica se aplica cuando cambiamos los roles de $x$$y$, lo $\dfrac{\mathbb{C}[x,y]}{(f,g)}$ es un finitely generadas $\mathbb{C}$-módulo, lo que implica que es Artinian.

Answer 2

Consejo. Krull dimension de un anillo noetheriano cae por al menos uno si se especializan por un divisor distinto de cero, es decir, $\dim R/xR\le\dim R-1$ $x$ es un divisor distinto de cero (y una unidad, por supuesto). (Sin embargo, la igualdad tiene dominios afines sobre cualquier campo.)

Agregó más adelante. Un razonamiento similar puede encontrarse en esta respuesta.

Answer 3

Aquí está otra pista posible. Desde $(f,g)=1$, se puede ver que $V(f,g)$ es un subconjunto cerrado apropiado de $V(f)$. Desde $V(f)$ es unidimensional y noetheriano, puede descomponer $V(f,g)$ en un producto finito de puntos. Así, entonces $\text{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(f,g))\to \text{Spec}(\mathbb{C})$ es quasifinite que, desde $\mathbb{C}$ es un campo de fuerzas que es finito por (o bien, pensemos en el Nullstellensatz). Y, por supuesto, finito dimensional $\mathbb{C}$-álgebras Artinian.

Answer 4

He aquí otra sugerencia, en caso de que usted no puede utilizar ese Artinian es equivalente a Noetherian y de la dimensión de $0$.

El ideal de $(f,g)$ tiene un conjunto finito de ceros comunes, que nos número$p_1, \ldots, p_m,$, por lo que su radical es igual a $\bigcap_{i=1}^m {\mathfrak m}_ i= {\mathfrak m}_1 \cdots {\mathfrak m}_m$ (Teorema del Resto Chino, véase, por ejemplo, de Atiyah-Macdonald). Consideremos ahora la siguiente fórmula: para un Noetherian anillo de $A$, el hecho de que $I$ $J$ tienen el mismo radical implica que $I^a\subset J$$J^b \subset I$. Aplicando esto a la anterior obtenemos:

$$\bigcap_{i=1}^m {\mathfrak m}_ i \subset (f,g),$$ que produce un epimorphism

$$\frac{k[x,y]}{\bigcap_{i=1}^m {\mathfrak m}_ i}\twoheadrightarrow A=\frac{k[x,y]}{(f,g)},$$ mostrando así el objetivo anillo de ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $k$, por lo tanto Artinian.

Con respecto a una de las respuestas anteriores, la exacta de Bézout-tipo de identidades puede ser producida por medio de la resultante, ver, por ejemplo, Walker Curvas Algebraicas o de Fulton el libro del mismo título, o Queysanne, el libro de Álgebra Básica.

Utilizando como resultado se logra precisos cálculos en la dimensión más de $k$ $A$ como un espacio vectorial (que es la misma que la de su longitud como un Artinian módulo sobre sí mismo), después de aprender algunos datos geométricos (ver, por ejemplo, Fulton del libro).