Que $f$ ser un mensurable función en un espacio de medida $X$ y Supongamos que $fg \in L^1$ % todos $g\in L^q$. ¿Debe ser $f$ $L^p$, $p$ el conjugado de $q$? Si suponemos que $\|fg\|_1 \leq C\|g\|_q$ $C$ constante, esto deduce el teorema de representación de Riesz. Pero ¿qué pasa si no estamos teniendo en cuenta que existe tal $C$?
Respuestas
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Supongamos que $fg\in L^1$, pero no hay $C$ así que $\|fg\|_{L^1}\le C\|g\|_{L^q}$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que todas las funciones son positivas. Supongamos que tenemos una secuencia de $L^q$funciones $\{g_k:\|g_k\|_{L^q}=1\}$ donde $\int|fg_k|\;\mathrm{d}x>3^k$. Conjunto de $g=\sum\limits_{k=1}^\infty2^{-k}g_k$. $\|g\|_{L^q}\le1$ yet $fg\not\in L^1$. Por lo tanto, debe haber un $C$ así que $\|fg\|_{L^1}\le C\|g\|_{L^q}$. Luego, como dices, aplicar el teorema de representación de Riesz.
carlfriedrich
Puntos
21
Me gustaría añadir otra respuesta a esta pregunta. Considerar el lineal funcional $T:L^q\to\mathbb{C}$ definido por $$Tg=\int gf.$$
Es suficiente para demostrar que $T$ está acotada. Para ello, suponga que $g_n\in L^q$ es tal que $\|g_n\|_q\to 0$.
Podemos extraer una larga de $g_n$ (no recalificado) tal que $$g_n(x)\to 0,\ |g_n(x)|\le h(x),\ \mbox{a.e.},\tag{1}$$
donde $h\in L^q$ (este parcial conversar de teorema de Lebesgue, se puede encontrar, por ejemplo, en Rudin del libro "Real y el Análisis Complejo", Teorema 3.12, o en Brezis libro "Análisis Funcional", Teorema 4.9). Se desprende de lo $(1)$ que $$g_n(x)f(x)\to 0,\ |g_n(x) f(x)|\leq h(x)|f(x)|,\ \mbox{a.e}.\tag{2}$$ Note that by hypothesis, $h|f|\en L^1$, therefore, we can apply Lebesgue theorem to conclude that $$Tg_n\to 0.\tag{3}$$
Como cada subsequence de $g_n$, tiene una larga que satisface $(1)$, llegamos a la conclusión de que $(3)$ es cierto para toda la secuencia.
