Una desigualdad geométrica para un triángulo ABC

Question

Debo probar que:$ \frac {a^2}{w_a^2} + \frac {b^2}{ w_b^2} +\frac {c^2}{ w_c^2} \ge 4,$

para los lados$a,b,c$ del triángulo$ABC,$$ w_a, w_b, w_c $ de las bisectrices de ángulo y$s$ de su semiperímetro. Tenemos para las bisectrices de ángulo del triángulo$ABC$:

$ w_a = \frac {2}{b+c} \sqrt{b c s (s-a)},$$ w_b = \frac {2}{c+a} \sqrt{c a s (s-b)},$$ w_c = \frac {2}{a+b} \sqrt{a b s (s-c)}.$

Entonces nosotros tenemos:

$ \frac {a^2}{w_a^2} + \frac {b^2}{ w_b^2} +\frac {c^2}{ w_c^2} = \frac {1}{4 s} [ \frac { a^2 (b+c)^2}{b c (s-a)} + \frac { b^2 (a+c)^2}{a c (s-b)} + \frac { c^2 (a+b)^2}{a b (s-c)}].$

Entonces, tenemos que probar

$ \frac{ a^2 (b+c)^2}{b c (s-a)} + \frac { b^2 (a+c)^2}{a c (s-b)} + \frac { c^2 (a+b)^2}{a b (s-c)} \ge 16 s $

Luego me quedé, gracias.

Answer 1

Tomando de donde lo dejaste ...$LHS \ge \sum 4\cdot\dfrac{a^2}{s-a}\ge 4\cdot\dfrac{(a+b+c)^2}{(s-a)+(s-b)+(s-c)}= 4\cdot\dfrac{4s^2}{s} = 16s = RHS$, empleando las desigualdades AM-GM y CS.

Answer 2

Deje$m_a$,$m_b$ y$m_c$ ser medianas del triángulo a los lados$a$,$b$ y$c$, respectivamente.

Por lo tanto, por CS y AM-GM obtenemos:$$\sum_{cyc}\frac{a^2}{w_a^2}\geq\sum_{cyc}\frac{a^2}{m_a^2}=4\sum_{cyc}\frac{a^2}{2b^2+2c^2-a^2}=4\sum_{cyc}\frac{a^4}{2a^2b^2+2a^2c^2-a^4}\geq$ $$$\geq\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+2a^2c^2-a^4)}\geq\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+a^4+c^4-a^4)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+a^4)}=4.$ $