Singularidad removible para una función analítica en el disco perforado donde $|f'(z)| \leq 1/|z|$ .

Question

Supongamos que en el disco perforado $0 < |z| < 1, \ f(z)$ es analítica con su primera derivada acotada por $$ |\,f'(z)| \leq \frac{1}{|z|}. $$

Demostrar que $f$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ .

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Sospecho que esta pregunta puede haber sido respondida en otro lugar; tal vez alguien pueda indicarme una respuesta existente.

Sospecho que puede haber una forma inteligente de utilizar el Lema de Schwarz o quizás Fórmula integral de Cauchy .

Answer 1

Las hipótesis implican $f'(z)$ tiene en el peor de los casos un polo de orden $1$ en $0.$ Así que podemos escribir

$$f'(z) = \frac{c}{z} +g(z)$$

para $0<|z|<1,$ donde $g$ es analítico en $D(0,1).$ Ahora $g$ tiene una antiderivada $G$ en $D(0,1).$ De ello se desprende que

$$(f-G)'(z) = \frac{c}{z}, \,\, 0<|z|<1.$$

Si $c\ne 0,$ hemos descubierto una antiderivada de $1/z$ en $\{0<|z|<1\}.$ ¿Es posible? Inserta un "no" aquí: ___. Así, $c=0,$ que lleva a la conclusión deseada.

Answer 2

Consideremos la serie de Laurent de $f(z)$ y $f'(z)$ en el disco perforado:

$$ f(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n,\qquad f'(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}na_n z^{n-1}. $$ Si suponemos que algunos $a_n$ con $n<0$ es $\neq 0$ tenemos una violación de la desigualdad $\left|f'(z)\right|\leq \frac{1}{|z|}$ para algunos $z$ suficientemente cerca del origen, ya que en tal caso $z f'(z)$ tiene una singularidad en el origen, que es un polo o una singularidad esencial. En ambos casos $zf'(z)$ no puede permanecer acotado como $z\to 0$ . De ello se deduce que los únicos coeficientes no nulos son los que tienen $n\geq 0$ y $f(z)$ es holomorfo sobre $|z|<1$ .

Answer 3

Obsérvese, aplicando la regla de L'Hopital:

$$\lim_{z\to 0} zf(z)=\lim_{z\to0} \frac{f(z)}{1/z}=\lim_{z\to 0} \frac{f'(z)}{-1/z^2}=\lim_{z\to 0} -z^2f'(z)$$

Tenga en cuenta que

$$\lim_{z\to 0} |-z^2f'(z)|\le \lim_{z\to0}|z|=0$$

Answer 4

Establecer $\,g(z)=z\,f'(z)$ . Claramente, $$ |g(z)|=|z\,f'(z)|\le 1, $$ y por lo tanto $g$ está acotado en el disco unitario perforado $\mathbb D\setminus\{0\}$ y por lo tanto, $g$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ y en consecuencia, $g$ se extiende analíticamente en el disco unitario.

Ampliar $g$ en el disco de la unidad como $g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ . Entonces $$ f'(z)=\frac{a_0}{z}+\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}z^n. $$ Dejemos que $\gamma\subset\mathbb D\setminus\{0\}$ sea una curva cerrada. Entonces $$ 0=\int_{\gamma}\big(z\,f(z)\big)'\,dz=\int_{\partial B_r}\big(\,f(z)+z\,f'(z)\big)\,dz=\int_{\partial B_r}\big(\,f(z)+g(z)\big)\,dz=\int_{\partial B_r}f(z)\,dz. $$ Por lo tanto, existe una función analítica $F$ en $D\setminus\{0\}$ , de tal manera que $F'=f$ . Tal $F$ tiene una expansión de Laurent de la forma $$ F(z)=\sum_{k\in \mathbb Z}b_kz^k $$ y por lo tanto $$ f'(z)=F''(z)=\sum_{k\in \mathbb Z}k(k-1)b_kz^{k-2}. $$ Esto implica que el coeficiente de $z^{-1}$ es la expansión de $f'$ es $0$ y por lo tanto $a_0=0$ y por lo tanto $f$ es analítico en el disco.