En estas notas acerca de la teoría de números, tratando de calcular el grupo de clase de el campo de número de $K=\mathbb{Q}[X]/(g(X))$ donde $g(X)=X^3+X^2+5X-16$, el autor se las arregla para encontrar una unidad fundamental mediante la explotación de las relaciones entre el primer ideales (p. 73). Si $\alpha\in K$ denota una raíz de $g$, podemos ver que los ideales $(9\alpha)$ $((\alpha-1)(\alpha-2)^4)$ son iguales en $O_K$, por lo que los dos elementos se diferencian por una unidad de $$ \varepsilon=\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)^4}{9\alpha}=4\alpha^2+\alpha-13 $$ No veo cómo encontrar la expresión explícita para $\varepsilon$ en términos de la base $\{1,\alpha,\alpha^2\}$$O_K$. Pensé que mediante el isomorfismo $O_K\cong \mathbb{Z}[X]/(g(X))$ me puede de alguna manera hacer la división entre el $(X-1)(X-2)^4$ $9X$ modulo $g(X)$, pero esto no tiene sentido desde $9$ no es invertible en a $\mathbb{Z}$. En el caso de dos polinomios $h,f\in k[X]$ ($k$ un campo), se puede escribir $1=\gcd(f,g)=af+bg$ y luego se multiplica por $h$ conseguir $h=haf+hbg$ a conseguir ese $f/h=ha$ mod $g$, pero no sé cómo aplicar este argumento, en este caso.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la igualdad es un poco engañoso como una expresión en $\mathcal{O}_K$, ya que, en particular, $9\alpha$ no es una unidad en $\mathcal{O}_K$, a pesar del hecho de que $(\alpha - 1)(\alpha - 2)^4/9\alpha$ es un elemento de $\mathcal{O}_K$ (esto puede suceder!).
Digo esto, porque uno se siente tentado a simplemente dividir por $9\alpha$ para obtener una expresión. En la práctica, la expresión que se derivan del razonamiento que $((\alpha - 1)(\alpha - 2)^4) = (9\alpha)$ como ideales se parece más a
$$(\alpha - 1)(\alpha - 2)^4 = 9\alpha \varepsilon$$
para algunos $\varepsilon \in \mathcal{O}_K^\times$. Esto es mucho más fácil trabajar con, y usted puede utilizar su método en este caso. De hecho, usted tiene
$$(X - 1)(X-2)^4 \equiv -27X^2 - 297X + 576 \bmod g(X).$$
Algo sugestivamente, uno puede notar que los coeficientes son todos divisibles por $9$ (yay!). Por lo tanto, en $\mathcal{O}_K$
$$9\alpha \varepsilon = -27\alpha^2 - 297\alpha + 576$$
y por lo tanto
$$\alpha \varepsilon = -3\alpha^2 - 33\alpha + 64.$$
Ahora escribo $\varepsilon = a + b\alpha + c\alpha^2$ $a,b,c \in \Bbb Z$ (es decir, escribir en términos de la integral de base $\lbrace 1, \alpha, \alpha^2\rbrace$) y, a continuación, compare los coeficientes de y usted debe conseguir que $a = - 13$, $b = 1$, y $c = 4$, que es lo que estaban buscando.
Usted puede incluso ver su respuesta, mediante la comprobación de que
$$-27X^2 - 297X + 576 - 9X(4X^2 + X - 13) \equiv 0 \bmod g(X).$$
Si usted quiere estar seguro de que esta es una unidad puede calcular la norma de $4\alpha^2 + \alpha - 13$ y asegúrese de que esto es igual a $1$ (me gustaría evitar tener que hacer esto a mano, si no te gusta ampollas, aunque).
